今天,我被一道题目搞晕了,是一元微积分的应用的题目!椭圆1：参数为a,b,椭圆2：参数为b,a.求相交的图形围成的面积陈文灯上面的答案是用普通极坐标变换做的有一女生问我,她用广义极坐标
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 00:55:04
今天,我被一道题目搞晕了,是一元微积分的应用的题目!椭圆1：参数为a,b,椭圆2：参数为b,a.求相交的图形围成的面积陈文灯上面的答案是用普通极坐标变换做的有一女生问我,她用广义极坐标
今天,我被一道题目搞晕了,是一元微积分的应用的题目!
椭圆1：参数为a,b,椭圆2：参数为b,a.求相交的图形围成的面积
陈文灯上面的答案是用普通极坐标变换做的
有一女生问我,她用广义极坐标变换,就是x=bpcosa,y=apsina,代入方程,算出来答案不对,
今天,我被一道题目搞晕了,是一元微积分的应用的题目!椭圆1：参数为a,b,椭圆2：参数为b,a.求相交的图形围成的面积陈文灯上面的答案是用普通极坐标变换做的有一女生问我,她用广义极坐标
坐标变换那么面积元也要改变,广义极坐标的面积元是
|dx/dρ,dy/dρ|
|dx/dθ,dy/dθ|*dρdθ
=
| bcosθ, asinθ|
|-bρsinθ,aρcosθ|*dρdθ
=abρdρdθ
两个椭圆方程则变为b²ρ²cos²θ/a² + a²ρ²sin²θ/b² = 1和ρ = 1
有的时候椭圆1在2里面,有时候椭圆2在1里面,故先求出椭圆1和2交点对应的坐标,把ρ=1代入b²ρ²cos²θ/a² + a²ρ²sin²θ/b² = 1得到tanθ = ±b/a,得出4个θ（图中也可看出）是arctan(b/a),π-arctan(b/a),π+arctan(b/a),-arctan(b/a),4个θ和4个半坐标轴把区域分成8个面积相等的部分
所以原积分变成：
∫∫abρdρdθ（分成8部分）
= 8∫(arctan(b/a),π/2)dθ∫（0,ρ=1)abρdρ
= 8 * ab/2 ∫(arctan(b/a),π/2)dθ
= 4ab [π/2 - arctan(b/a)]
= 4ab arctan(a/b)
x=bρcosa,y=aρsina S=|x||y|=ba|x.||y.| ΔS=baΔx.Δy.
极坐标： S=ba(ρ^2)/2*θ ΔS=baΔ(ρ^2)/2*Δθ