2000年12月的.

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2000年全国初中数学联赛
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●竞赛之窗●
2000年全国初中数学联赛
一、选择题（满分42分,每小题7分）
1．计算 - ．
（A）1 （B）5 （C）25 （D）5
2．若 ＝ ＝ ,则 的值是（ ）．
（A）92 （B）94 （C）5 （D）6
3．设a、b是不相等的任意正数,又x= ,y＝ ．则x、y这两个数一定（ ）．
（A）都不大于2（B）都不小于2
（C）至少有一个大于2（D）至少有一个小于2
4．正整数n小于100,并且满足等式[ ]＋[ ]＋[ ]＝n,其中〔x〕表示不超过x的最大整数．这样的正整数n有（ ）个．
（A）2 （B）3 （C）12 （D）16
5．已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4．则此梯形的面积等于（ ）．
（A）4 （B）6 （C）82 （D）
6．已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形,AB＝12,CD＝6,分别延长AB和DC,它们相交于P,且BP＝8,∠APD＝60°．则R等于（ ）．
（A）10 （B）221（C）122（D）14
二、填空题（满分28分,每小题7分）
1．a、b是正数,并且抛物线y＝x2＋ax＋2b和y＝x2＋2bx＋a都与x轴有公共点．则a2＋b2的最小值是______．
2．某果品商店进行组合销售,甲种搭配：2千克A水果,4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果,8千克B水果,1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果,6千克B水果,1千克C水果．已知A水果每千克2元,B水果每千克1.2元,C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配共得441.2元,其中A水果的销售额为116元．则C水果的销售额为 元．
3．实数x、y满足x≥y≥1和2x2－xy－5x＋y＋4＝0.则x＋y＝________ ．
4．设正?ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是BC边上的任意一点,PA＋PM的最大值和最小值分别记为s和t．则s2－t2＝________．
三、（满分20分）设p是实数,二次函数y＝x2－2px－p的图象与x轴有两个不同的交点A（x1,0）,B（x2,0）．
（1）求证：2px1＋x ＋3p＞0；
（2）若A、B两点之间的距离不超过｜2p－3｜,求p的最大值．
图1S）〗
四、（满分25分）如图1,EFGH是正方形ABCD的内接四边形,∠BEG与∠CFH都是锐角．已知EG＝3,FH＝4,四边形EFGH的面积为5．求正方形ABCD的面积

图1

五、（满分25分）设关于x的二次方程
（k2－6k＋8）x2＋（2k2－6k－4）x＋k2＝4
的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．
参考答案
一、1．（C）．
∵14＋6 ＝（3＋ ）2,14－6 ＝（3－ ）2,
∴原式＝ －
＝（3＋5）－（3－5）＝25．
2．（A）．
由已知条件知x≠0,y≠0．把已知等式变形并利用等比消去y,得25x/75y＝15y/(30x－75y)＝(6x－15y)/x＝[25x＋15y＋（6x－15y）]/[75y＋（30x－75y）＋x]＝31x/31x＝1．
则 x＝3y．
故(4x2－5xy＋6y2)/(x2－2xy＋3y2)＝(36y2－15y2＋6y2)/9y2－6y2+3y2＝27y2/6y2＝9/2．
3．（C）．
设a＝1,b＝3,得x＝10,y＝23．从而否定（A）及（B）．设a＝3,b＝4,得x＝1
73,y＝104．于是否定（D）,故只有（C）正确．
4．（D）．
由n/2＋n/3＋n/6＝n,以及若x不是整数,则?〔x〕＜x?知,2｜n,3｜n,6｜n,即n是6的倍数．因此,小于100的这样的正整数有1006＝16个．
5．（D）．
以1、2、3、4作为边的梯形只有以下六种可能（1）以1、2为底；（2）以1、3为底；（3）以1、4为底；（4）以2、3为底；（5）以2、4为底；（6）以3、4为底．易知只有（3）才能构成梯形,其他都不能构成梯形．
如图2,设在梯形ABCD中,AB＝3,BC＝4,CD＝2,DA＝1,过A作AH⊥BC于H,作AE‖DC交BC于E,则△ABE等腰三角形．由12AH·BE＝S△ABE?＝1/2AE 得AH＝ ,则S梯形ABCD?＝1/2（1＋4）× ＝
6．（B）．
由切割线定理得PB·PA＝PC·PD,有 8×20＝PC（PC＋6）．解得PC＝10．
如图3,连结AC．在?PAC中,由PA＝2PC,∠APC＝60°,得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理,得AD2＝AC2＋CD2＝（PA2－PC2）＋CD2＝202－102＋62＝336．

图2 图3
∴R＝1/2AD＝2 ．
二、1．20．
由题设知a2－8b≥0,4b2－4a≥0．则a4≥64b4≥64a,∴a≥4,b2≥a≥4．∴a2＋b2≥20．又当a＝4,b＝2时,抛物线y＝x2＋ax＋2b和y＝x2＋2bx＋a都与x轴有公共点,则a2＋b2的最小值是20．
2．150．
设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x、y、z套．依题意有 得31（y＋z）＝465,故y＋z＝15．
所以,共卖出C水果15千克,C水果的销售额为15×10＝150（元）．
3．4．
由题设等式知2x2－5x＋4＝y（x－1）≤x（x－1）,有x2－4x＋4≤0,即（x－2）2≤0．从而,x＝2．代入已知等式得y＝2,故x＋y＝4．
4．4 ．
先求s．∵PA≤AC,PM≤CM,∴PA＋PM≤CA＋CM＝2＋ ．
图4
当点P为顶点C时,等号成立．则s＝2+ ．
再求t．如图4,作正?△A'BC．设M'为A'B的中点,则△PBM≌?△PBM'．
∴PM＝PM'．PA＋PM＝PA＋PM'≥AM'．连结CM',则∠ACM'＝90°．∴AM'＝AC2＋（CM'）2＝4＋3＝7．∴t＝7．故s2－t2＝（2＋3）2－7＝43
三、（1）由题设知Δ＝（－2p）2－4（－p）＝4p2＋4p＞0,x －2px2－p＝0．∴2px1＋x ＋3p ＝2px?1＋2px?2＋p＋3p
＝2p（x1＋x2）＋4p ＝4p2＋4p＞0．
（2）∵AB＝｜x2－x1｜＝ = ?∴ ．有4p2＋4p≤4p2－12p＋9．
∴p≤9/16． 又当p＝9/16时满足题意,故p的最大值为9/16．
图5
四、如图5,在正方形ABCD中,过E、F、G、H分别作对边的
垂线,得矩形PQRT．设ABCD的边长为a,PQ＝b,QR＝c,由勾股定理得b＝ ,c＝ ．由S△AEH＝S△TEH,S△BEF＝S△PEF,S△CFG＝S△QFG,S△DGH＝S△RGH?,得S正方形ABCD＋S矩形PQRT＝2S四边形EFGH?．则a2＋bc＝2.5．a2＋ ＝10,
有5a2＝44,a2＝445．即S正方形ABCD?＝44/5．
五、原方程可化为
（k－4）（k－2）x2＋（2k2－6k－4）x＋（k－2）（k＋2）＝0,
〔（k－4）x＋（k－2）〕〔（k－2）x＋（k＋2）〕＝0,
∵（k－4）（k－2）≠0,∴x1＝－(k－2)/(k－4)＝－1－2/(k－4),
x2＝－(k＋2)/(k－2)＝－1－4/(k－2)．
∴k－4＝－2/(x1＋1),k－2＝－2/(x2＋1)．（x1≠－1,x2≠－1）消去k,得
x1x2＋3x1＋2＝0,∴x1（x2＋3）＝－2．由于x1、x2都是整数,
∴x1＝－2,x2＋3＝1； x1＝1,x2＋3＝－2； x1＝2,x2＋3＝－1．
∴x1＝－2,x2＝－2； x1＝1,x2＝－5； x1＝2,x2＝－4．∴k＝6,3,10/3．经检验,k＝6,3,10/3满足题意

饿