求高一数学不同类型的抽象函数我们数学老师说高一的抽象函数总共有十几种类型的,背下来就可以了,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 16:46:43
求高一数学不同类型的抽象函数我们数学老师说高一的抽象函数总共有十几种类型的,背下来就可以了,
求高一数学不同类型的抽象函数
我们数学老师说高一的抽象函数总共有十几种类型的,背下来就可以了,
求高一数学不同类型的抽象函数我们数学老师说高一的抽象函数总共有十几种类型的,背下来就可以了,
例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x,y∈R),当x0,则函数f (x)在[a,b]上 ( )
A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ( )
分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的,如正比例函数f (x)= kx(k≠0), , , ,可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y),与此类似的还有
特殊函数 抽象函数
f (x)= x f (xy) =f (x) f (y)
f (x)=
f (x+y)= f (x) f (y)
f (x)=
f (xy) = f (x)+f (y)
f (x)= tanx f(x+y)=
此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k≠0)
∵当x 0即kx > 0..∴k < 0,可得f (x)在[a,b]上单调递减,从而在[a,b]上有最小值f(b).
二．赋值法．根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值,从而来解决问题.
例2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法
解:令y = -x,则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x,y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,
再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0,代入①式得f (-x)= -f(x).
得 f (x)是一个奇函数,再令 ,且 .
∵x 0,而 ∴ ,则得 ,
即f (x)在R上是一个减函数,可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b).
例3 已知函数y = f (x)(x∈R,x≠0)对任意的非零实数 , ,恒有f( )=f( )+f( ),
试判断f(x)的奇偶性.
令 = -1, =x,得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值,令 =1, =-1,则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令 = =-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得
f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数.
三．利用函数的图象性质来解题：
抽象函数虽然没有给出具体的解析式,但可利用它的性质图象直接来解题.
抽象函数解题时常要用到以下结论：
定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于x= 对称.
定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x),则函数y=f(x)是一个周期函数,周期为a-b.
例4 f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=f(2-x),证明f(x)是周期函数.
分析：由 f(x)=f(2-x),得 f(x)的图象关于x=1对称,又f(x)是定义在R上的偶函数,图象关于y轴对称,根据上述条件,可先画出符合条件的一个图,那么就可以化无形为有形,化抽象为具体.从图上直观地判断,然后再作证明.
由图可直观得T=2,要证其为周期函数,只需证f (x) = f (2 + x).
证明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x),∴ T=2.
∴f (x)是一个周期函数.
例5 已知定义在[-2,2]上的偶函数,f (x)在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m)