棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M是棱AA'的中点,过C,M,D'作正方体的截面,则截面的面积为?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/27 09:35:32
棱长为2的正方体ABCD-A''B''C''D''中,M是棱AA''的中点,过C,M,D''作正方体的截面,则截面的面积为?棱长为2的正方体ABCD-A''B''C''D''中,M是棱AA''的中点,过C,M,D''作正方体

棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M是棱AA'的中点,过C,M,D'作正方体的截面,则截面的面积为?
棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M是棱AA'的中点,过C,M,D'作正方体的截面,则截面的面积为?

棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M是棱AA'的中点,过C,M,D'作正方体的截面,则截面的面积为?
延长D′M交DA的延长线于E,连CE交AB于F,则MD′CF就是过C、M、D′的截面.
∵ABCD-A′B′C′D′是正方体,∴AD=A′D′,且EA∥A′D′,又AM=A′M,∴△AEM≌△A′D′M,
∴AE=A′D′,∴AE=AD.
∵ABCD-A′B′C′D′是正方体,∴AB=DC,且AF∥DC,又AE=AD,∴AF=DC/2=AB/2,
结合AM=A′M,得:MF∥A′B.
∵ABCD-A′B′C′D′是正方体,∴A′B∥D′C,结合证得的MF∥A′B,得:MD′CF是梯形.
∵ABCD-A′B′C′D′是正方体,∴AM⊥平面ABCD,∴AM⊥AC.
由勾股定理,有:
MC^2=AM^2+AC^2=(AB/2)^2+(√2AD)^2=1+8=9.
D′M^2=A′M^2+A′D′^2=(AA′/2)^2+4=1+4=5,∴D′M=√5.
又D′C=√2DC=2√2.
∴由余弦定理,有:
cos∠MD′C=(D′M^2+D′C^2-MC^2)/(2D′M×D′C)=(5+8-9)/(2√5×2√2)=1/√10.
∴sin∠MD′C=√(1-1/10)=3/√10.
∴梯形MD′CF的高=D′Msin∠MD′C=√5(3/√10)=3/√2.
∴梯形MD′CF的面积=[(MF+D′C)×(3/√2)]/2=[(√2AF+√2CD)×(3/√2)]/2
=3(AF+CD)/2=3(AB/2+2)/2=3(1+2)/2=9/2.
即:所要求的截面的面积为9/2.