1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2怎么推导?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 23:26:51
1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2怎么推导?
1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2怎么推导?
1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2怎么推导?
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后...
全部展开
想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
收起
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2……+n^2=(0+1+3+6+……+[(n-1)^2+n-1] /2)+(1+3+6+……+[n^2+n]/2 )
=(n^3-n)/6+((n+1)^3-n-1)/6=n(n+1)(2n+1)/6
附：1+3+6+……+[n^2+n]/2=1+(1+2)+……+(1+2+……+n)
1+3+6+……+[n^2+n]/2=1*n+2*...
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1^2+2^2+3^2+4^2+5^2……+n^2=(0+1+3+6+……+[(n-1)^2+n-1] /2)+(1+3+6+……+[n^2+n]/2 )
=(n^3-n)/6+((n+1)^3-n-1)/6=n(n+1)(2n+1)/6
附：1+3+6+……+[n^2+n]/2=1+(1+2)+……+(1+2+……+n)
1+3+6+……+[n^2+n]/2=1*n+2*(n-1)+3*(n-2)……
1+3+6+……+[n^2+n]/2=（n+2n+3n+……）-2(0+1+3+6+……+[(n-1)^2+n-1] /2)
3(1+3+6+……+[(n-1)^2+n-1] /2)=(n^3+n^2)/2-(n^2+n)/2
0+1+3+6+……+[(n-1)^2+n-1] /2=n^3-n)/6
同理1+3+6+……+[n^2+n]/2=((n+1)^3-n-1)/6
收起