三角形边长分别是7,8,9,是否存在一条直线,能把这个三角形分成面积和周长都相等的两部分.小学奥数.太难小学奥数，还没学三角函数呢。能从图形的构造和论证角度证明吗

三角形边长分别是7,8,9,是否存在一条直线,能把这个三角形分成面积和周长都相等的两部分.小学奥数.太难小学奥数，还没学三角函数呢。能从图形的构造和论证角度证明吗
三角形边长分别是7,8,9,是否存在一条直线,能把这个三角形分成面积和周长都相等的两部分.小学奥数.太难
小学奥数，还没学三角函数呢。能从图形的构造和论证角度证明吗

三角形边长分别是7,8,9,是否存在一条直线,能把这个三角形分成面积和周长都相等的两部分.小学奥数.太难小学奥数，还没学三角函数呢。能从图形的构造和论证角度证明吗
主要是思路没打开,不用硬算.
首先设三角形为ABC 对应边为abc 其中a=7 b=8 c=9
那条直线必定跟三角形交与两点,下面分类讨论两点的分布情况.
第一种情况,其中有一点在顶点上.如果是这种情况的话,另一点肯定在该顶点对应的边的中点上,这样才能保证两点将三角形面积分成两半.但是如果这样的话,两点就不可能将其周长分成两半了.举个例子,若一点在A上,则另一点必在a边的中点,这样的话,一部分周长为3.5+8=11.5,一部分周长为3.5+9=12.5,矛盾了,所以舍弃这种情况.
第二种情况,就是两点分别分布在两条边上.这样的话就有三个分支了,一种是在ab上,一种在ac上,还有一种在bc上.这次我们先从等周长下手（上一种情况是先从满足等面积的情况下手推出矛盾的）.
如果两点在ab上（下面将的就麻烦在草稿纸上画了,不会复杂）,设在a边的为点D,在b边的为点E,所以根据等周长有,AE+AB+BD=12即半周长,设AE=x,BD=y,因为AB=c=9,所以x+y=3.
下面再用等面积.在这里,三角形ABC总面积为1/2absinC,而三角形CED面积为             1/2(8-x)(7-y)sinC,也等于1/2个三角形ABC,所以有1/2ab=(8-x)(7-y),即28+xy=8y+7x,再加上前面x+y=3,联立就有y(1-x)=7,即(3-x)(1-x)=7,解得x=2+2√2,大于3了,y会小于0,舍去这种情况.
剩下两种情况模式就一模一样了,我时间不够了,要睡了,惭愧,剩下的就麻烦自己算了,如果有疑问,我明天一定回答! 
没学三角函数? 接上面,那就过点A作BC上的垂线F,过E作BC上的垂线G,三角形ABC面积为
1/2AF乘a=1/2乘AF/b乘ab,这样的话b会约掉,所以等号左右是一样的,同理,再看三角形EDC面积为1/2EG乘DC=1/2乘EG/EC乘EC乘DC,注意到三角形AFC跟EGC相似,所以AF/b=EG/EC,
约掉后就是上面的式子了,这也是上面用三角函数的本质.希望能理解啊,下面附个图.如果不理解可以问!

给跪了。。。。。。

假设存在，那么这条直线可能把这个三角形分成两个三角形，或者一个四边一个三角形，

不妨设原三角形的三条边分别是AB=7，AC=8，BC=9

（1）如果分成两个三角形，那么这条线一定过ABC的一个顶点

如果过A点，那么根据两部分周长相等，会把BC分成长度为5，4的两部分，这两部分分别是这两个三角形的底，由于高是相等的，底不相等，所以面积不可能相等，所以此种情况不成立；

同理可以得出过B，C点都不可能成立；

（2）如果分成一个三角形，一个四边形，

如果直线把AB，AC分成两部分，如图，则可以通过下边 的方法来算

AD+AE=12, 设AD=x

,则AE=12-x，BD=7-x,CE=8-(12-x)=x-4

S(ADE)

=S(BDEC)

=S(BDC)+S(DCE)

三角形BDC以BD为底的高是可以提前算出来的，设为h1,

三角形ABE以AE为底的高是可以提前算出来的，设为h2

三角形AED以AE为底的高是y,那 么

y/h2=AD/AB

所以

y=h2*AD/AB=xh2/7

h1,h2都是常量

S(ADE)

=S(BDEC)

=S(BDC)+S(DCE)

可以表示为

1/2h1BD+1/2yCE=1/2yAE

h1(7-x)+1/2xh2/7(x-4)=1/2xh2/7(12-x)

解出来就知道有没有了，算起来比较麻烦，另外两种情况也可以类似讨论

我猜大概是没有解的

这个线是存在的，只是不好算，举个好算的例子吧，如果是等腰三角形的话就好找了，这个。。。。。。。我得找会。。。。。。 周长相等的线是无数条的，总有一条是你要求的，只是不知道怎么找啊。。。。。。。。。。

过三角形的任意一个顶点都不能画一条直线把这个三角形分成面积和周长都相等的两部分

1、周长相等的直线存在，面积相等的直线需要用正弦求解。
2、与面积同时相等的直线不存在，如需求解用积分可求。
3、假如是直角三角形比如6，8，10，这条线是存在的，而且是有且只有一条直线，同时平分这个三角形的周长与面积。
4、既然为奥数题目，就不能用常规的方式来思考问题，从题目中可以发现7，8，9三个数，分别为3+4，4+4，5+4；也就是其中隐含的条件，希望能对读者有所帮...

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1、周长相等的直线存在，面积相等的直线需要用正弦求解。
2、与面积同时相等的直线不存在，如需求解用积分可求。
3、假如是直角三角形比如6，8，10，这条线是存在的，而且是有且只有一条直线，同时平分这个三角形的周长与面积。
4、既然为奥数题目，就不能用常规的方式来思考问题，从题目中可以发现7，8，9三个数，分别为3+4，4+4，5+4；也就是其中隐含的条件，希望能对读者有所帮助。

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