把3个半径为R的球放在平面上.使它们两两相切中间放一个小球,使得其与平面及3个大球两两相切,求这个小球的半径r与大球半径R之比理由
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 20:42:21
把3个半径为R的球放在平面上.使它们两两相切中间放一个小球,使得其与平面及3个大球两两相切,求这个小球的半径r与大球半径R之比理由
把3个半径为R的球放在平面上.使它们两两相切
中间放一个小球,使得其与平面及3个大球两两相切,求这个小球的半径r与大球半径R之比
理由
把3个半径为R的球放在平面上.使它们两两相切中间放一个小球,使得其与平面及3个大球两两相切,求这个小球的半径r与大球半径R之比理由
设三个球的中心分别是A、B、C,△ABC中心为D,小球的中心为E,D在平面上的投影为F.
AD²=R²+（0.5AD）²
AD²=4/3*R²
因为FD=r,所以ED=R-r
AE=R+r
AD²+ED²=AE²
4/3*R²+（R-r）²=（R+r）²
4/3*R²=4Rr
r/R=1/3
第一步：将球的问题看成平面的问题，因为两两相切则球心均在同一平面。只看包含球心和切点的那一个平面。
第二步：将平面上三个大圆的圆连接组成三角形，因为圆两两相切且半径均为R，则三角形三边均为2R，为等边三角形。
第三步：将小圆的圆心（设为O）与三个大圆的圆心（即等边三角形三个顶点设为P1、P2、P3）相连，因与三个大园相切，则O与三个P点距离（即OP长度）相同且为R+r。
第...
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第一步：将球的问题看成平面的问题，因为两两相切则球心均在同一平面。只看包含球心和切点的那一个平面。
第二步：将平面上三个大圆的圆连接组成三角形，因为圆两两相切且半径均为R，则三角形三边均为2R，为等边三角形。
第三步：将小圆的圆心（设为O）与三个大圆的圆心（即等边三角形三个顶点设为P1、P2、P3）相连，因与三个大园相切，则O与三个P点距离（即OP长度）相同且为R+r。
第四步：由等边三角形的性质可知，此时O点是三角形的中心，也是重合三个交点（角平分线交点、垂直平分线交点、高的交点），延长OP1至与三角形一边相交于Q，可知角OP2Q为三角形顶角一半即30°。
第五步：综上可知线段QP2/OP2=cos30°，即：R/（R+r）=cos30°，解得r/R=（2-根号3）/根号3
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R/3
3个大球两两相切,3切点组成的平面与桌面(题目中的平面)的距离为R
小球球心到桌面距离为r,到大球球心距离为R+r,
小球球心在3切点组成的面的投影为3大球球心组成的三角形的中心,此中心到大球球心的距离为2R/√3小球球心到3切点组成的面的距离的平方为:
(R+r)^2-(2R/√3)^2
3切点组成的面与桌面的距离为:√[(R+r)^2-...
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R/3
3个大球两两相切,3切点组成的平面与桌面(题目中的平面)的距离为R
小球球心到桌面距离为r,到大球球心距离为R+r,
小球球心在3切点组成的面的投影为3大球球心组成的三角形的中心,此中心到大球球心的距离为2R/√3小球球心到3切点组成的面的距离的平方为:
(R+r)^2-(2R/√3)^2
3切点组成的面与桌面的距离为:√[(R+r)^2-(2R/√3)]+r=R
解得:r=R/3
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1:根3