七年级上册数学几何整体思想例题3道
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 10:04:56
七年级上册数学几何整体思想例题3道
七年级上册数学几何整体思想例题3道
七年级上册数学几何整体思想例题3道
首先,基础一定要扎实,如果你基础不行,别去想那些难题目,直接搞基础.
几何其实不难.我就是初一学生.而且在几何上做到现在.不管什么题目我最多看5分钟.
其实几何很简单,有些稍微有点复杂的题目,比如说他叫你证明某个关系式,那么你必须思考:如何证明这个关系式,就是说证明这个关系式成立或者不成立最简单,最直接的条件是什么?然后再思考:如何证明这个最简单、最直接的条件?就这样一步步逆向思维.题目便可以迎刃而解.
当然,几何在于灵活地运用,别死死地只用一种思考方式去解几何,你要多想想方法,想想最简便的方法.
对于一些难度很高,而且极为复杂的题目,你就要坚持不懈,不断进行尝试.
我记得有一次,我一道几何题想了3天,终于被我解出来了.
祝你能考试成功,我明天就是期末考试了.唉,去复习喽!
1.若P是BE上一点,G是CD上任一点,PQ平分∠BPG,PQ‖GN,GM平分∠DGP,∠ABP=30°.下列结论:①∠DGP-∠MGN的值不变;②∠MGN的度数不变.可以证明,只有一个结论是正确的,请你做出正确的选择并求值.
2.在平面直角坐标系中,∠MBA=∠ABO,∠MCA=∠ACO,连接AM交BC于N,在①∠BAN=∠CAO,②∠CAN=∠ANC这两个灯始终只有一个永远成立,请你判断那一个永远成立,并证明你的结论.
答案:1 证明:∵四边形ABCD和四边形AEFP是正方形
∴AB=AD ∠DAB= ∠ EAB=90° AE=AP
∴Rt△ADP≌Rt△ABE
∴∠ADP= ∠ EBA
∵∠ADP+∠APD=90° ∠APD=∠BPH
∴∠ EBA+∠BPH=90°
∴DH⊥BE 2轨迹
一、复习要点
在第一轮的复习中,同学们已经初步掌握了求轨迹的一些基本方法,但比较零散.本节我们将系统地研究求轨迹的基本方法,使同学们能根据曲线上点的性质,选择恰当的方法求出轨迹方程.
1本节的主要内容是求轨迹方程的几种基本方法——直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法.其重点是直译法、动点转移法和参数法;难点是坐标系的选择、参数法中参数的选择及轨迹方程所表示曲线的“完备性”和“纯粹性”.
2轨迹问题是解析几何研究的主要内容之一,因而也成为高考命题的热点.1999年以此作为压轴题.
3在本节复习中,应理解和掌握如下求轨迹方程的五种基本方法:(1)直译法若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则只需直接把这种关系“翻译”成动点的坐标x、y(或ρ、θ)的方程,经化简所得同解的最简方程,即为所求轨迹的方程.其一般步骤为:建系—设点—列式—代换、化简—检验.
(2)定义法当动点满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线的定义建立方程.
(3)待定系数法当已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再根据动点满足的条件,确定待定系数,从而求得动点的轨迹方程.
(4)动点转移法即就是当动点P(x,y)或P(ρ,θ)随着另一动点Q(x1,y1)或Q(ρ1,θ1)的运动而运动,而动点Q在某已知曲线上,若Q点的坐标可用点P的坐标表示,则可代入动点Q所在已知曲线的方程中,求得动点P的轨迹方程.求对称曲线方程也常用此法.
(5)参数法当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y,从而得动点轨迹的参数方程
x=f(t),
y=g(t),
消去参数t,便可得动点P的轨迹的普通方程.应注意方程的等价性,即由t的范围确定出x、y的范围.
二、例题讲解
例1 椭圆的方程为(x2/a2)+(y2/b2)=1,A1、A2分别是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上任一点,引A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P.
设A1Q与A2Q相交于点Q,求Q点的轨迹方程.
讲因Q点随P点的运动而运动,而P点在已知椭圆上,故可用动点转移法求解.
思路1.设Q(x,y)、P(x1,y1),如图8-4,A1的坐标为(-a,0),A2的坐标为(a,0).
图8-4
∵点P(x1,y1)在椭圆(x2/a2)+(y2/b2)=1上,
∴ (x12/a2)+(y12/b2)=1. ①
欲求Q点的轨迹方程,只须将点P的坐标用点Q的坐标表示.为此,
须寻求x1、y1与x、y之间的关系.
∵A1Q的方程为y=-(x1+a)/y1(x+a), ②
A2Q的方程为y=-(x1-a)/y1(x-a), ③
即y1y=-x1x-ax-ax1-a2, ④
y1y=-x1x+ax+ax1-a2, ⑤
联立④⑤,解得 x1=-x. ⑥
由①得x12=a2(1-(y12/b2)). ⑦
将④⑤代入A1Q的方程,得
y=(x12-a2)/y1=(-(a2/b2)y12)/y1=-(a2/b2)y1.
∴ y1=-(b2/a2)y. ⑧
将⑥⑧代入①,并整理,得
(x2/a2)+(b2y2)/a4=1.
这就是Q点的轨迹方程.
以上是将两个参数x1、y1逐一消去,实际上还可整体消参.②×③,得
y2=((x12-a2)/y12)(x2-a2).
把y12=(b2/a2)(a2-x12)代入便可将参数一次消去.
思路2.因动点Q的位置由动点P的位置确定,而动点P的位置与其对应的离心角有关,故可选点P的离心角θ为参数,建立点θ的轨迹的参数方程.
设点P的坐标为(Acosθ,Bsinθ),点Q的坐标为(x,y),则
直线A1Q的方程为
y=-(a(cosθ+1)/Bsinθ)(x+a), ①
直线A2Q的方程为
y=-(a(cosθ-1)/Bsinθ)(x-a). ②
①×②,消去θ,得
y2=(a2(cos2θ-1)/(b2sin2θ)(x2-a2)
=-(a2/b2)(x2-a2),
即(x2/a2)+(b2y2)/a4=1.
这就是所求Q点的轨迹方程.
思路2用参数法求Q点的轨迹方程,
在消参数时,整体处理,化繁为简,请同学们注意这种整体消参的思想.
例2 如图8-5,给出定点A(a,0)(a>0)和直线l:x=-1,B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示曲线类型与a值的关系.
图8-5
讲思路1动点C的运动受两个条件的限制:一是随点B在l上的运动而运动,二是要满足∠AOC=∠COB.条件较多,坐标之间的关系不易直接建立,故可考虑选取中间变量即参数,将符合每一条件的方程列出,再联立各方程,消去参数得点C轨迹的普通方程.
设点B的坐标为(-1,t)(t∈R),则直线OA、OB的方程分别为y=0和y=-tx.设点C(x,y),则有0≤x<a,由OC平分∠AOB,得|y|=(|y+tx|/ ). ①
又点C在直线AB上,
∴y=-(t/1+a)(x-a). ②
∵x-a≠0,∴t=-((1+a)/x-a)y. ③将③代入①,得
y2〔1+((1+a)2y2/(x-a)2)〕=〔y-((1+a)xy/x-a)〕2.
整理,得
y2〔(1-a)x2-2ax+(1+a)y2〕=0.
若y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a);
若y=0,则b=0,∠AOB=π,点C的坐标为(0,0),满足上式.
综上,得点C的轨迹方程为
(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a). ④
(i)当a=1时,轨迹方程为y2=x(0≤x<1),此时方程表示抛物线弧段;
(ii)当a≠1时,轨迹方程化为((x-(a/1-a))2/((a/1-a))2)+(y2/(a2/1-a2))=1(0≤x<a),
∴当0<a<1时,方程表示椭圆弧段;
当a>1时,方程表示双曲线一支的弧段.
思路2若设l与x轴的交点为D,过点C作CE⊥x轴,垂足为E,则可由∠AOC与∠BOD的关系2∠AOC=π-∠BOD,用直接法即求得动点轨迹的方程.请同学们自己试做.
本例思路1中所得方程①、②即为点C轨迹的参数方程,这种参数方程称为“隐参数方程”,联立消参便可得普通方程.对方程④表示的曲线应注意分类讨论.
例3已知两定点A、B,且|AB|=2a(a∈R+).
(1)若动点M与A、B构成直角三角形,求直角顶点M的轨迹方程;
(2)若动点M满足条件∠MBA=2∠MAB,求点M的轨迹方程.
讲题设条件中没有给出坐标系,故应先考虑选择适当的坐标系,再用动点满足的几何条件用直译法求解.
因A、B为两个定点,故取AB所在的直线为x轴,注意到对称性,取AB的中点O为原点建立平面直角坐标系,如图8-6所示.于是A、B两点的坐标分别为(-a,0)、(a,0).
图8-6
(1)设点M的坐标为(x,y),则动点M属于集合P={M|AM⊥MB,且M不在直线AB上}.
由AM⊥MB,得|AM|2+|MB|2=|AB|2,即
=(2a)2,且y≠0. ①
化简,得x2+y2=a2(y≠0). ②
或者由AM⊥MB kMA•kMB=-1,得
y/(x+a)•y/(x-a)=-1, ③
化简,得x2+y2=a2(x≠±a). ④
(2)设∠MAB=α,∠MBA=β,则点M属于集合P={M|β=2α}. ⑤
考虑到tgβ的存在性,以下需分Ⅰ、Ⅱ两种情况讨论.
Ⅰ.∵当β≠(π/2)时,有tgβ=tg2α. ⑥
而0≤α+β<π,β=2α,∴ 0≤α<(π/3).
又由α<β知x>-a. ⑦
根据点M与x轴的相对位置,以下又可分为(i)、(ii)两种情形:
(i)当y≥0时,tgα=kMA=y/(x+a)(x≠-a),
tgβ=-tg(π-∠xBM)=-kMB=y/(a-x)(x≠a).
由tgβ=tg2α,得y/(a-x)=(2•(y/(x+a)/1-((y/x+a))2), ⑧
整理得y(3x2-y2+2ax-a2)=0. ⑨
(ii)当y<0时,同理可得上式.
Ⅱ.又x=a时,tgβ不存在,但β=(π/2),依题意只要α=(π/4),M仍为所求轨迹上的点.
∵ 1=tg(π/4)=tgα=±y/(x+a)=±(y/2a),
∴ y=±2a,
∴点(a,±2a)在所求的轨迹上.
容易验证点(a,2a)与(a,-2a)的坐标都满足方程⑨,故所求点M的轨迹方程为
y=0(-a<x<a)或3x2-y2+2ax-a2=0(x>-a).
从本题的解答过程可以看到,用直译法求曲线(轨迹)方程时,其步骤中的第(5)步可以省略不写,但要下结论“最简方程就是所求曲线(轨迹)方程”,仍需验证曲线的方程定义中的两条,以保证轨迹的纯粹性与完备性.如在本题的解答过程中的①和②是同解变形,所得到的最简方程就是所求轨迹的方程.而从⑧到⑨中,若约去y,则将会丢掉线段AB(不含端点),则轨迹就不完备.又如从方程③到④不是同解变形,这时需对x的范围加以限制,即x≠±a,去掉增解,以保证轨迹的纯粹性.又如从⑤到⑥,当β=(π/2)时,不能得到⑥,故应对β=(π/2)加以验证,经检验当β=(π/2)时所对应的点A(a,±2a)在所求的轨迹上已包含在方程⑨中.解题中不可忽视题目隐含的条件,如本例(1)中的M与A、B构成三角形,M不在AB上,须加限制条件y≠0,又如(2)中的限制条件⑦.否则将会破坏轨迹的纯粹性与完备性.
三、专题训练
1一动圆与两圆x2+y2=1,x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( ).
A.抛物线
B.双曲线
C.双曲线的一支
D.椭圆
2若 -|x-y+3|=0,则点M的轨迹是( ).
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.双曲线
3设A1、A2是椭圆(x2/9)+(y2/4)=1长轴的两个端点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( ).
A.(x2/9)+(y2/4)=1
B.(y2/9)+(x2/4)=1
C.(x2/9)-(y2/4)=1
D.(y2/9)-(x2/4)=1
4过P(1,2)任作一直线l交x轴于A,过Q(2,-3)作l的垂线交y轴于B,点C分线段AB为定比2,则点C的轨迹为( ).
图8-7
A.6x+3y+4=0
B.6x+3y-4=0
C.6x-3y+4=0
D.6x-3y-4=0
5倾斜角为(π/4)的直线交椭圆(x2/4)+y2=1于A、B两点,则线段AB的中点M的轨迹方程是_________.
6设P是以F1、F2为焦点的双曲线(x2/16)-(y2/9)=1上的动点,则△F1F2P的重心的轨迹方程是_________.
7△ABC中,若B(-(a/2),0),C((a/2),0),且sinC-sinB=(1/2)sinA,则顶点A的轨迹方程是_________.
8求经过定点A(1,2),以y轴为准线,离心率为(1/2)的椭圆左顶点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
9过点A(0,a)的动直线和圆(x-2)2+y2=1相交于B(x1,y1)和C(x2,y2)两点,且x1<x2,点P在线段BC上,满足(|PB|/|PC|)=(|AB|/|AC|),求点P的轨迹方程.
10.已知定直线l1:y=kx,l2:y=-kx(k为非零常数),定点A(1,0),P是位于∠MON内部的动点(图8-8),过A作l1、l2的两条平行线与射线OP分别交于Q、R点,且有关系:|OP|2=|OR
另题目.两条不平行的直线被第三条直线所截,下列说法可能成立的是( )A同位角相等B内错角相等C同旁内角互补D同旁内角相等2.下列条件有可能得到平行线的是( )A对顶角相等B有公共边的互补角的平分线C有公共边的互余角的平分线D.内错角的平分线3.在平面内画出10条直线,使交点数恰好是31.
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