柯西函数方程 f(xy)=f(x)* f(y)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/14 10:56:57
柯西函数方程 f(xy)=f(x)* f(y)
柯西函数方程 f(xy)=f(x)* f(y)
柯西函数方程 f(xy)=f(x)* f(y)
指函数方程f(x+y)=f(x)+f(y) x,y属于R
f(x)为单调函数,（或连续函数）
下面我举个例子说明.
证明若f(x)≥0,且f²(x+y)=f²(x-y)=2[f²(x)+f²(y)],则f(x)=a|x| (a>0)
首先,f(x)=0满足条件,而且第一个=应为+
因为f(y)=f(-y),f(0)=0,所以可以只考虑x>0情况
设f(1)=a>0 (如果f(1)=0,则f(x)=0),f(2)=f(1+1)=2a,
以次类推,f(2^n)=(2^n)a.
用样可以证明f(1/2^n)=(1/2^n)a
(f²(1/2+1/2)+f²(1/2-1/2)=2[f²(1/2)+f²(1/2)])
这里,可以把1替换成任意数p,所以f((2^n)p)=(2^n)f(np)
可以用数学归纳法证明对于任何奇数p,f(p)=ap
f(1)=a为初始条件,
f²(2n+1)+f²(2n-3)=2[f²(2n-1)+f²(2)]归纳
对于整数n,m,n>m
f²(2^n+2^m)+f²(2^n-2^m)=2[f²(2^n)+f²(2^m)]
f(2^n-2^m)=f(2^m(2^(n-m)-1))=(2^n-2^m)a因为2^(n-m)-1是奇数
可以算出f(2^n+2^m)=(2^n+2^m)a
由于任何实数有二进制表示,且f对于2^n的运算为线性
所以对于任何大于0的实数,f(x)=ax
补充,需要对于函数进行连续性验证.
先证明在0点右连续,再证明在任意点连续
可以假设在0点不收敛于0,得出矛盾
这就是函数方程.此外还可以参考一下书本如：《函数与函数方程》
希望这个答案你能满意.
考虑幂函数，且将x=1带入，得到系数为1，
f(x)=x.^a,
当次数为负数时，x不取0，
指函数方程f(x+y)=f(x)+f(y) x，y属于R
f(x)为单调函数，（或连续函数）
下面我举个例子说明。
证明若f(x)≥0,且f²(x+y)=f²(x-y)=2[f²(x)+f²(y)],则f(x)=a|x| (a>0)
首先，f(x)=0满足条件，而且第一个=应为+
因为f(y)=f(-y)，...
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指函数方程f(x+y)=f(x)+f(y) x，y属于R
f(x)为单调函数，（或连续函数）
下面我举个例子说明。
证明若f(x)≥0,且f²(x+y)=f²(x-y)=2[f²(x)+f²(y)],则f(x)=a|x| (a>0)
首先，f(x)=0满足条件，而且第一个=应为+
因为f(y)=f(-y)，f(0)=0,所以可以只考虑x>0情况
设f(1)=a>0 (如果f(1)=0，则f(x)=0),f(2)=f(1+1)=2a,
以次类推，f(2^n)=(2^n)a.
用样可以证明f(1/2^n)=(1/2^n)a
(f²(1/2+1/2)+f²(1/2-1/2)=2[f²(1/2)+f²(1/2)])
这里，可以把1替换成任意数p，所以f((2^n)p)=(2^n)f(np)
可以用数学归纳法证明对于任何奇数p，f(p)=ap
f(1)=a为初始条件，
f²(2n+1)+f²(2n-3)=2[f²(2n-1)+f²(2)]归纳
对于整数n，m，n>m
f²(2^n+2^m)+f²(2^n-2^m)=2[f²(2^n)+f²(2^m)]
f(2^n-2^m)=f(2^m(2^(n-m)-1))=(2^n-2^m)a因为2^(n-m)-1是奇数
可以算出f(2^n+2^m)=(2^n+2^m)a
由于任何实数有二进制表示，且f对于2^n的运算为线性
所以对于任何大于0的实数，f(x)=ax
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