求使x的方程（a+1)x^2-(a^2+1)x+2a^3-6=0有整数根的所有整数a
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 12:23:49
求使x的方程（a+1)x^2-(a^2+1)x+2a^3-6=0有整数根的所有整数a
求使x的方程（a+1)x^2-(a^2+1)x+2a^3-6=0有整数根的所有整数a
求使x的方程（a+1)x^2-(a^2+1)x+2a^3-6=0有整数根的所有整数a
1
当a=-1时,原方程为
-2x-8=0;解得x=-4.
2
若a≠-1,则
由韦达定理,
x1+x2=(a^2+1)/2（a+1);
x1·x2=(2a^3-6)/(a+1);
则若x和a都是整数,则
令p=x1+x2=(a^2+1)/2（a+1);
q=x1·x2=(2a^3-6)/(a+1);
则
a^2+1=2p·（a+1);
2a^3-6=q·（a+1);
两式相加得:
2a^3 +a^2 -5 =(2p+q)·（a+1);
(2a^3 +a^2 -5)/（a+1)=2p+q;
使(2a^3 +a^2 -5)/（a+1)=(2a^2-a+1)-6/（a+1)为整数,则可知
a+1 一定能被6整除.
则a可能的取值是:
-7,-3,-2,0,1,2,5;
将上面各值分别代入原方程得,可知,当a=-7,-3,-2,2,5时原方程的判别式小于零.
于是,a=0,1或-1.
当a=-1时，原方程化为-2x-2-6=0，此时x=-4;
当a≠-1时，判别式Δ=(a^2+1)^2-4(a+1)(2a^3-6)=-7a^4-8a^3+2a^2+24a+25
若a≤-2，则Δ=-a^2(7a^2+8a-2)+24(a+1)+1＜24(a+1)+1＜0，方程无根；
若a≥2，则Δ=-8a(a^2-3)-a^2(7a^2-2)+25＜-a^2(7a^2-2...
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当a=-1时，原方程化为-2x-2-6=0，此时x=-4;
当a≠-1时，判别式Δ=(a^2+1)^2-4(a+1)(2a^3-6)=-7a^4-8a^3+2a^2+24a+25
若a≤-2，则Δ=-a^2(7a^2+8a-2)+24(a+1)+1＜24(a+1)+1＜0，方程无根；
若a≥2，则Δ=-8a(a^2-3)-a^2(7a^2-2)+25＜-a^2(7a^2-2)+25＜0，方程亦无根；
故-2＜a＜2，又a为整数，则a只能取-1，0，1，而a≠-1，则a在0，1中取值：
当a=0时，方程可化为x^2-x-6=0，解得x1=3,x2=-2;
当a=1时，方程可化为x^2-x-2=0，解得x1=2,x2=-1.
综上所述，当a=-1,0,1时，方程有整数根。
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