a是实常数,函数f(x)对于任何的非零实数x都有f( 1 x )=af(x)-x-1,且f(1)=1,则不等式f(x)-x≥0的解集为( )

a是实常数,函数f(x)对于任何的非零实数x都有f( 1 x )=af(x)-x-1,且f(1)=1,则不等式f(x)-x≥0的解集为( )
a是实常数,函数f(x)对于任何的非零实数x都有f( 1 x )=af(x)-x-1,且f(1)=1,则不等式f(x)-x≥0的解集为( )

a是实常数,函数f(x)对于任何的非零实数x都有f( 1 x )=af(x)-x-1,且f(1)=1,则不等式f(x)-x≥0的解集为( )
分析：根据f（1）=1,代入已知的等式中求出a的值,再把a的值代入等式得到一个关系式,记作①,把x换为1/x得到令一个关系式,记作②,把①代入②即可得到f（x）的解析式,把求出的f（x）代入不等式中,分x大于0和x小于0两种情况考虑,当x大于0时去分母时不等号方向不变,当x小于0时去分母不等号方向改变,分别求出相应的解集,求出两解集的并集即为原不等式的解集．
因为f（1）=1,所以f（1）=af（1）-2,即a-2=1,
解得a=3,所以f（1/x）=3f（x）-x-1①,
设1/x=t,得到f（t）=3f（1/t）-1/t-1,
即f（x）=3f（1/x）-1/x-1②,
将①代入②得：f（x）=3[3f（x）-x-1]-1/x-1,
化简得：f（x）=3x/8+1/8x+1/2,
代入不等式得：3/x8+1/8x+1/2-x≥0,
当x＞0时,去分母得：5x²-4x-1≤0,即（5x+1）（x-1）≤0,
解得：-1/5≤x≤1,所以原不等式的解集为（0,1]；
当x＜0时,去分母得：5x²-4x-1≥0,即（5x+1）（x-1）≥0,
解得：x≥1或x≤-1/5,所以原不等式的解集为（-∞,-1/5],
综上,原不等式的解集为（-∞,-1/5]∪（0,1]．
点评：此题考查了其他不等式的解法,考查了分类讨论的数学思想,是一道中档题．确定出f（x）的解析式是解本题的关键．