三角形中a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A-C=派/3,求角B的正弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/29 04:16:32
三角形中a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A-C=派/3,求角B的正弦值
三角形中a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A-C=派/3,求角B的正弦值
三角形中a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A-C=派/3,求角B的正弦值
因为 a+c=2b
由正弦定理可以知道 sinA+sinC=2sinB ①
由 积化和差公式 知
sinA+sinC=2* sin[(A+C)/2]* cos[(A-C)/2]
因为A+B+C=180°,A-C=60°
所以
sinA+sinC=2* sin[(A+C)/2]* cos[(A-C)/2]
=2*sin(90°-B/2)*cos30°
=√3cos(B/2) ②
由①②两式得
2sinB=√3cos(B/2)
而sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)
所以
4sin(B/2)*cos(B/2)=√3cos(B/2)
得sin(B/2)=√3/4
因为B/2一定是锐角,
所以cos(B/2)=√13/4
所以
sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)=√39/8
sinB=√39/8.
由a+c=2b与余弦定理得
sinA+sinC=2sinB,利用和差化积与倍角公式得
2sin((A+C)/2)*cos((A-C)/2)=4sin((A+C)/2)*cos((A+C)/2)
A-C=60,cos(A-C)/2=√3/2
√3sin(A+C)/2=4sin((A+C)/2)*cos((A+C)/2)
全部展开
sinB=√39/8.
由a+c=2b与余弦定理得
sinA+sinC=2sinB,利用和差化积与倍角公式得
2sin((A+C)/2)*cos((A-C)/2)=4sin((A+C)/2)*cos((A+C)/2)
A-C=60,cos(A-C)/2=√3/2
√3sin(A+C)/2=4sin((A+C)/2)*cos((A+C)/2)
sin((A+C)/2)(√3-4cos((A+C)/2))=0,于是得
sin((A+C)/2)=0,或(√3-4cos((A+C)/2))=0,
如果sin((A+C)/2)=0,(A+C)/2=180,A+C=360(不合题意,舍去),
故得√3-4cos((A+C)/2)=0,
cos((A+C)/2)=√3/4, sin((A+C)/2)=√13/4
sin(A+C)=2sin((A+C)/2)*cos((A+C)/2)=√39/8
B=180-(A+C)
sinB=sin(A+C)=√39/8
收起
a+c=2b,A-C=派/3,则有,
sinA+sinC=2sinB,cos(A-C)=cos∏/3=1/2.
sinA+sinC=2*sin[(A+C)/2]*cos[(A-C)/2]=2*2sin(B/2)*cos(B/2),
而,(A+C)/2=(180-B)/2,
sin[(A+C)/2]=sin(90-B/2)=cos(B/2),
即有,
...
全部展开
a+c=2b,A-C=派/3,则有,
sinA+sinC=2sinB,cos(A-C)=cos∏/3=1/2.
sinA+sinC=2*sin[(A+C)/2]*cos[(A-C)/2]=2*2sin(B/2)*cos(B/2),
而,(A+C)/2=(180-B)/2,
sin[(A+C)/2]=sin(90-B/2)=cos(B/2),
即有,
2*cos(B/2)*cos[(A-C)/2]=2*2sin(B/2)*cos(B/2),
cos[(A-C)/2]=2sin(B/2),而,cos(A-C)=cos∏/3=1/2.
1/2=2*sin(B/2),
sin(B/2)=1/4.
又∵cosB=1-2*sin^2(B/2),
∴cosB=1-2*(1/4)^2=7/8.
sinB=√(1-cos^2B)=√30/4.
收起