三角形ABC中,角A,B,C对边的边长分别是a ,b ,c,且a(cosB+cosC)=b+c.(1)求证A=90度 (2)若三角形ABC外接圆半径为1,求三角形ABC周长的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 12:51:33
三角形ABC中,角A,B,C对边的边长分别是a ,b ,c,且a(cosB+cosC)=b+c.(1)求证A=90度 (2)若三角形ABC外接圆半径为1,求三角形ABC周长的取值范围
三角形ABC中,角A,B,C对边的边长分别是a ,b ,c,且a(cosB+cosC)=b+c.
(1)求证A=90度 (2)若三角形ABC外接圆半径为1,求三角形ABC周长的取值范围
三角形ABC中,角A,B,C对边的边长分别是a ,b ,c,且a(cosB+cosC)=b+c.(1)求证A=90度 (2)若三角形ABC外接圆半径为1,求三角形ABC周长的取值范围
（1）
∵a/sinA=b/sinB=C/sinC=2R(R为三角形外接圆半径）
所以原式左右各除以2R后,可化为：
sinA(cosB+cosC)=sinB+sinC；而A+B+C=180°.即sinA=sin(B+C)
∴[sin(B+C)]*[cosB+cosC]=sinB+sinC
∴[sinBcosC+sinCcosB]*[cosB+cosC]=sinB+sinC
∴sinBcosBcosC+sinBcos²C+sinCcos²B+sinCcosCcosB=sinB+sinC
∴sinB(cos²C-1+cosBcosC)=sinC(1-cos²B-cosBcosC)
∴sinB(cosBcosC-sin²C)=sinC(sin²B-cosBcosC)
∴(sinB+sinC)(cosB+cosC)=sinCsin²B+sinBsin²C
∴(sinB+sinC)cosBcosC=sinBsinC(sinB+sinC)
∴cosBcosC-sinBsinC=0
∴cos(B+C)=0,即B+C=90°
∴A=90°
（2）
∵外接圆半径R=1
∴a=2RsinA=2,b²+c²=a²=4
∴(b+c)²≤b²+c²+4=8
∴b+c≤2*根号2
而b+c≥2*根号bc
∴b+c＞2
∴周长=（a+b+c）∈（4,2+2*根号2]
！！！！！！！！自己好好考、、、
对不起
如图，AD为X，AE为Y。abc （1） 若∠A不为90度。 a(cosB+cosC)=b+c acosB+acosC=b+c 即BD+EC=b+c 即c+x+y+b=b+c 即x+y=0 ∵X≥0 Y≥0 ∴X=Y=0 ∴∠A=90° （2） a=2R=2 b²+c²=4 最小c=0，b=2，周长=2 最大b=c=根号2 ∴2＜周长＜2根号2 根号打不出不要介意啊~~~