已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论；（2）若AD=BD=2,求⊙O的面积．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 04:56:11
已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论；（2）若AD=BD=2,求⊙O的面积．
已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论；
（2）若AD=BD=2,求⊙O的面积．
已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论；（2）若AD=BD=2,求⊙O的面积．
（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图1,连接OD．
∵OA=OD,∴∠A=∠ADO．
∵∠C=90°,
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A,
∴∠ADO+∠CDB=90°,
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°．
∴直线BD与⊙O相切．
（2）连OD、DE．
∵AD=BD,
∴∠A=∠DBA．
在Rt△BDC中,
∵∠C=90°,∠CBD=∠A=∠DBA,
∴3∠A=90°,即有∠A=30°．
由 tan∠A=DEAD,得 DE=AD•tan30°=2×根号3/3=（2根号3）/3
又∠DOE=60°,OD=OE,
∴△DOE为等边三角形,
∴ OD=DE=（2根号3）/3
即⊙O的半径 r=OD=（2根号3）/3
故⊙O的面积 S=πr2=4π/3．
（1）连接OD．证直线与圆相切，即证BD⊥OD．由∠CBD+∠CDB=90°，∠CBD=∠A=∠ODA，可得∠ODA+∠CDB=90°．根据平角定义得证；（2）即求圆的半径求解．连接DE，则∠ADE=90°．在Rt△BCA中，∠CDB=∠A=∠ABD，得∠A=30°．从而在△ADE中利用三角函数求解．
（1）直线BD与⊙O相切． （1分）
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（1）连接OD．证直线与圆相切，即证BD⊥OD．由∠CBD+∠CDB=90°，∠CBD=∠A=∠ODA，可得∠ODA+∠CDB=90°．根据平角定义得证；（2）即求圆的半径求解．连接DE，则∠ADE=90°．在Rt△BCA中，∠CDB=∠A=∠ABD，得∠A=30°．从而在△ADE中利用三角函数求解．
（1）直线BD与⊙O相切． （1分）
证明：如图1，连接OD． （2分）
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO． （3分）
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A，（5分）
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°．
∴直线BD与⊙O相切． （6分）
（2）连OD、DE．
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA． （7分）
在Rt△BDC中，
∵∠C=90°，∠CBD=∠A=∠DBA，
∴3∠A=90°，即有∠A=30°． （8分）
由tan∠A=DEAD，得DE=AD•tan30°=2×33=233．（10分）
又∠DOE=60°，OD=OE，
∴△DOE为等边三角形，
∴OD=DE=233． （10分）
即⊙O的半径r=OD=233，
故⊙O的面积S=πr2=4π3． （12分）
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