证明两角和的余弦公式

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 21:08:44
证明两角和的余弦公式证明两角和的余弦公式证明两角和的余弦公式首先,在三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角,则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D由CD=asinB

证明两角和的余弦公式
证明两角和的余弦公式

证明两角和的余弦公式
首先,在三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c
若A,B均为锐角,则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D
由CD=asinB=bsinA
（做另两边的垂线,同理）
可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
于是有：
AD+BD=c
AD=acosA,BD=acosB
AD+BD=c
代入正弦定理,可得
sinC=sin(180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
即在A,B均为锐角的情况下,可证明正弦和的公式.利用正弦和余弦的定义及周期性,可证明该公式对任意角成立.（证明略）,
于是有
cos(A+B)=sin(90-A-B)=sin(90-A)cos(-B)+cos(90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB

由两角差的余弦公式知：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,
在上面公式中，令-β=β，则有cos(α+β)=cosαcos（-β）+sinαsin（-β） =cosαcosβ-sinαsinβ
即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

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