求垂直于直线2X-6y+1=0并且与曲线y=x立方+3x平方-5相切的直线方程!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 08:03:55
求垂直于直线2X-6y+1=0并且与曲线y=x立方+3x平方-5相切的直线方程!
求垂直于直线2X-6y+1=0并且与曲线y=x立方+3x平方-5相切的直线方程!
求垂直于直线2X-6y+1=0并且与曲线y=x立方+3x平方-5相切的直线方程!
2x-6y+1=0斜率是1/3
所以所求直线斜率是-3
y=x³+3x²-5
y'=3x²+6x
所以斜率k=y'=3x²+6x=-3
3(x+1)²=0
x=-1
所以切点横坐标是-1
y=-1+3-5=-3
切点(-1-3)
所以y+3=-3(x+1)
即3x+y+6=0
垂直于直线2X-6y+1=0,即y=1/3x+1/6
则所求直线的斜率为-3
y=x^3+3x^2-5
则设y"=3x^2+6x=-3
解得x=-1,代入y=x^3+3x^2-5,得y=-3
即切点为(-1,-3)
设切线方程为y=-3x+b
代入点(-1,-3)，得b=-6
则切线方程为y=-3x-6
因直线与2x-6y+1=0垂直，
如果两条直线互相垂直，则两直线的斜率互为负倒数，
直线2x-6y+1=0，即为y=1/3x+1/6,斜率为1/3
则与其垂直的直线的斜率为-3,\
设与其垂直的直线方程为：y=-3x+b （1）
因直线与曲线y=x^3+3x^2-5 （2） 相切，也就是说，两个方程只有一个交点，
把（1）代入（2）整理得：
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因直线与2x-6y+1=0垂直，
如果两条直线互相垂直，则两直线的斜率互为负倒数，
直线2x-6y+1=0，即为y=1/3x+1/6,斜率为1/3
则与其垂直的直线的斜率为-3,\
设与其垂直的直线方程为：y=-3x+b （1）
因直线与曲线y=x^3+3x^2-5 （2） 相切，也就是说，两个方程只有一个交点，
把（1）代入（2）整理得：
x^3+3x^2+3x-5-b=0 （3）,三次方程，一般来说有三个根，因相切，只有一个交点，则要求（3）有一个解，也就是三个相同的根，则有一般形式（x+a)^3=0,
展开有x^3+3ax^2+3a^2x+a^3=0 (4)
(4)与（3）对比可知：
a=1
-5-b=a^3
则得：b=-6,则直线方程为y=-3x-6
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