已知函数f(x)=(1-tanx)【1+根号2sin(2x+π/4)】rt(1)函数f（x）的定义域和值域（2）写出函数f（x）的单调递增区间

已知函数f(x)=(1-tanx)【1+根号2sin(2x+π/4)】rt(1)函数f（x）的定义域和值域（2）写出函数f（x）的单调递增区间
已知函数f(x)=(1-tanx)【1+根号2sin(2x+π/4)】
rt
(1)函数f（x）的定义域和值域
（2）写出函数f（x）的单调递增区间

已知函数f(x)=(1-tanx)【1+根号2sin(2x+π/4)】rt(1)函数f（x）的定义域和值域（2）写出函数f（x）的单调递增区间
（1）f(x)=(1-tanx)[1+√2sin(2x+π/4)]
=(1-tanx)(1+sin2x+cos2x)
=(1-tanx)[1+2tanx/(1+tanx^2)+(1- tanx^2)/(1+tanx^2)
=2(1- tanx^2)/(1+tanx^2)
=2cos2x
∵|cos2x|

用pi表示圆周率。
(1)因为
(1-tanx)[1+根号2*sin(2x+pi/4)] (和差化积)
=(1-tanx)[1+根号2*sin2x*cos(pi/4)+根号2*cos2x*sin(pi/4)]
=(1-tanx)(1+sin2x+cos2x) (倍角公式，1+cos2x=2(cosx)^2,sin2x=2sinxcosx)
=(1-tanx...

全部展开

用pi表示圆周率。
(1)因为
(1-tanx)[1+根号2*sin(2x+pi/4)] (和差化积)
=(1-tanx)[1+根号2*sin2x*cos(pi/4)+根号2*cos2x*sin(pi/4)]
=(1-tanx)(1+sin2x+cos2x) (倍角公式，1+cos2x=2(cosx)^2,sin2x=2sinxcosx)
=(1-tanx)(2(cosx)^2+2sinxcosx)
=(1-sinx/cosx)*2*cosx*(sinx+cosx)
=2(cosx-sinx)(cosx+sinx) (再用倍角公式，(cosx)^2-(sinx)^2=cos2x)
=2cos2x
注意到正弦和余弦的定义域是整个实数集，而正切的定义域是 x不等于kpi+pi/2
其中k为整数。所以函数定义域为 x不等于kpi+pi/2，k是整数。
对于值域，因为 x不等于kpi+pi/2，所以2x不等于2kpi+pi, 因此cos2x不能取到-1,因此函数f(x)的值域为(-2,2].
(2)根据余弦函数的单调增区间写就可以了。单调增区间应满足：
2kpi-pi<2x<2kpi,且由定义域条件： x不等于kpi+pi/2，
所以函数的单调增区间为 [kpi-pi/2,kpi].

收起

（1）∵f(x)=(1-tanx)[1+√2sin(2x+π/4)]
=(1-tanx)(1+sin2x+cos2x)
=(1-tanx)[1+2tanx/(1+tanx^2)+(1-tanx^2)/(1+tanx^2)
=2(1- tanx^2)/(1+tanx^2)
=2cos2x
...

全部展开

（1）∵f(x)=(1-tanx)[1+√2sin(2x+π/4)]
=(1-tanx)(1+sin2x+cos2x)
=(1-tanx)[1+2tanx/(1+tanx^2)+(1-tanx^2)/(1+tanx^2)
=2(1- tanx^2)/(1+tanx^2)
=2cos2x
又∵|cos2x|小于等于1，且tanx存在
∴f（x）定义域为（kπ-π/2，kπ+π/2）k为整数
值域为(0,2]
(2)2x∈（2kπ-π，2kπ+π）
递增时，2x∈（2kπ-π，2kπ]
即递增区间为（kπ-π/2，kπ]，k为整数

收起