如图所示,等边三角形ABC的边长是6,点P在边AB上,点Q在BC的延长线上,且AP=CQ,设PQ与AC相交于点D.（1）当∠DQC=30°时,求AP的长（2）作PE⊥AC与E,求证：DE=AE+CD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 06:38:26
如图所示,等边三角形ABC的边长是6,点P在边AB上,点Q在BC的延长线上,且AP=CQ,设PQ与AC相交于点D.（1）当∠DQC=30°时,求AP的长（2）作PE⊥AC与E,求证：DE=AE+CD
如图所示,等边三角形ABC的边长是6,点P在边AB上,点Q在BC的延长线上,且AP=CQ,设PQ与AC相交于点D.
（1）当∠DQC=30°时,求AP的长
（2）作PE⊥AC与E,求证：DE=AE+CD
如图所示,等边三角形ABC的边长是6,点P在边AB上,点Q在BC的延长线上,且AP=CQ,设PQ与AC相交于点D.（1）当∠DQC=30°时,求AP的长（2）作PE⊥AC与E,求证：DE=AE+CD
因为 三角形ABC是等边三角形,
所以 角A=角ACB=60度,
因为 角ACB=角DQC+角QDC,角DQC=30度,
所以 角QDC=60度--30度=30度,
所以 角QDC=角DQC,CQ=CD,
因为 AP=CQ,
所以 AP=CD,
因为 角ADP=角QDC=30度,角A=60度,
所以 角APD=90度,
所以 AD=2AP,
因为 AD+CD=AC=6,即：2AP+AP=6,
所以 AP=2.
（2）证明：过点P作PG//BC交AC于G.
则 三角形APG相似于三角形ABC,
因为 三角形ABC是等边三角形,
所以 三角形APG也是等边三角形,AP=GP,
因为 PE垂直于AC于E,
所以 AE=GE,
因为 AP=GP,AP=CQ,
所以 GP=CQ,
因为 PG//BC,
所以 角GPD=角CQD,角PGD=角QCD,
所以 三角形GPD全等于三角形CQD,
所以 DG=CD,
因为 AE=GE,DG=CD,
所以 DG+GE=AE+CD,
即：DE=AE+CD.
1）角DQC=30°，三角形abc是等边三角形，故角C=60，故角DCQ=30，故dc=cq,因ap=cq,故ap=dc,因角dcq=角adp=30,角a=60,故ap垂直pd,apd为直角三角形，ap:ad=1：2，故ad:dc=2:1.三角形abc是变长为6的等边三角形，设dc为X，dc+ad=ac=6,故ap为2（具体过程自己按照你们老师要求扩充一下） 2）延长ac,过Q点做AC垂直线交与G点，ap=aq,角aep=角cgq=90,角A=角c=角qcg,故可证明三角形aep与三角形cgq全等，所以ep=gq,角ped=角qgd=90,角pde=角qdg,故可证明三角形ped与三角形qgd全等，所以ed=gd,又因为ae=cg,dg=cd+cg,所以dg=ae+cd,所以de=ae+cd(这个题目主要是要延长AC然后做辅助线，想到就不难了）
图呢？没图怎么做啊