如图所示：从地球上发射一个卫星 起初按照β轨道运行,在A点第一次加速（反冲）（加速时间忽略）,并沿着椭圆轨道δ运动.运动到B点时,把此时的向心加速度记为a1.人造卫星又运动一周后回
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 08:47:53
如图所示：从地球上发射一个卫星 起初按照β轨道运行,在A点第一次加速（反冲）（加速时间忽略）,并沿着椭圆轨道δ运动.运动到B点时,把此时的向心加速度记为a1.人造卫星又运动一周后回
如图所示：从地球上发射一个卫星 起初按照β轨道运行,在A点第一次加速（反冲）（加速时间忽略）,并沿着椭圆轨道δ运动.运动到B点时,把此时的向心加速度记为a1.人造卫星又运动一周后回到B点,第二次加速（加速时间忽略）,并沿着α轨道运动（圆轨道）,运动一周后再次回到B点时,把此时的向心加速度记为a2.
请问a1与a2是否相等?请给出证明过程
最好说明一下椭圆运动的向心加速度 a=v^2/ρ 。
因为椭圆轨道速度小 但曲率半径也小 从这个角度看 是否有相等的可能？
如图所示：从地球上发射一个卫星 起初按照β轨道运行,在A点第一次加速（反冲）（加速时间忽略）,并沿着椭圆轨道δ运动.运动到B点时,把此时的向心加速度记为a1.人造卫星又运动一周后回
下面我就本问题所含的物理规律都表示出来.（假定r1＜r2）
OA=r1,OB=r2
开普勒第一定律：卫星轨道是椭圆,并且地球在焦点.
椭圆半长轴a=(r1＋r2)/2
短轴长b^2=[(r1＋r2)/2]^2－[(r1－r2)/2]^2=r1r2
椭圆面积：pi ab
开普勒第二定律：卫星单位时间内扫过的面积相等.这个实际就是角动量守恒：记p=v1r1=v2r2
单位时间扫过的面积为：1/2vr.
开普勒第三定律：轨道长轴的三次方和周期的平方之比为常数.我们可以结合前两定律和能量守恒得出该比例常数（当然我们也可把它当成定律直接求解圆形轨道得到）.
能量守恒：E＝1/2mv1^2－GMm/r1=1/2mv2^2－GMm/r2
p^2(1/r1^2－1/r2^2)=2GM(1/r1－1/r2)
p^2(1/r1＋1/r2)=2GM
p^2 a=GMr1r2
由开普勒第一、二定律周期为：T=pi ab/(1/2rv)
故T^2=pi^2 a^2 r1r2/(1/4p^2)
=4pi^2 a^3/(GM)
故 a^3/T^2=GM/(4 pi^2),这就是比例常数.
从圆形轨道直接计算：
GMm/R^2=mR(2 pi/T)^2
a^3/T^2=GM/(4 pi^2),从特例也得出比例常数.
下面具体看受力状态：
万有引力的大小分别为
F1=GMm/r1^2
F2=GMm/r2^2
如果你指的向心加速度环绕半径指的是到地心距离.
向心加速度分别为a1,a2,则
mb1=mv1^2/r1=mp^2/r1^3＝2GMm r2 / (r1＋r2) / r1^2＞F1,万有引力不足以提供向心力,故在该点轨道半径会变大；
ma1＝mp^2/r2^3=2GMm r1 / (r1＋r2) / r2^2＜F2,万有引力大于向心力,故该点轨道半径会减小.
同时b1:a1=r2^3:r1^3.
第二次加速后是圆轨道,万有引力刚好提供向心力.ma2=F2=GMm/r2^2
a1＜a2,且a1:a2=2r1/(r1＋r2)
关于椭圆上一点的曲率半径问题,该问题涉及到大学里的微分.可以证明B点的曲率半径就是半长轴.具体证明如下：（需要用到微分）
椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1 故xb^2+yy'a^2=0
曲率半径定义为：R=ds/dθ,也就是说弧长变换无限小切方向角度变化之比值.
θ=arctan(x/y)
ds=(1+y'^2)^0.5dx dθ=(x/y)'/[1+(x/y)^2]dx
故R=[1+(x/y)^2][1+y'^2)^0.5]/ (x/y)'
=y^2[1+(x/y)^2[1+(x/y b^2/a^2)^2)^0.5]/(-xx/y b^2/a^2+xy)
=(x^2+y^2)[y^2 a^4+x^2 b^4]^0.5/(x^2b^2+y^2a^2)
把B点坐标（a,0）代入为
R=a^2ab^2/a^2b^2=a
也就是说B点的曲率半径正好就是半长轴.
如果你指的向心加速度是v^2/ρ,ρ是曲率半径.这其实就是指物体的径向受力,在本问题中在B点万有引力在切向没有分量,自然就说万有引力完全提供向心力.
如果点不在椭圆的两轴上,受力和运动方向不垂直,则有切向加速度.而万有引力在与速度方向垂直的方向上的分量提供向心力,可以通过这一结论求解曲率半径而无需从上面定义出发.
不等。首先，两次R都一样，受到的引力N的等大的。第一次时，需要向心力F1，F1不改变速度的大小，只改变方向，而它做椭圆运动（从远地处被拉向近地处），所以引力大于向心力。而第二次引力等于向心力。所以向心力不等，向心加速度不等。这是直观上。 也可以从公式上看，它不是有二次加速么？说明V2>V1，F向=mv^2/r，明显是第二次大。 （补充一句，和外力不等于向心力，合外力大于向心力时，物体从椭圆的远端飞...
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不等。首先，两次R都一样，受到的引力N的等大的。第一次时，需要向心力F1，F1不改变速度的大小，只改变方向，而它做椭圆运动（从远地处被拉向近地处），所以引力大于向心力。而第二次引力等于向心力。所以向心力不等，向心加速度不等。这是直观上。 也可以从公式上看，它不是有二次加速么？说明V2>V1，F向=mv^2/r，明显是第二次大。 （补充一句，和外力不等于向心力，合外力大于向心力时，物体从椭圆的远端飞向近端，然后合外力又小于向心力，做离心运动，从近端飞向远端） 。你是的椭圆曲线半径小我上面分析过了，那是引力小于向心力，不过那时要在短的端点，再另作考虑，而本题都说在B点，且在B点加速后做圆周运动（看图也可知），可知R=R，V1
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很明确告诉你，两个加速度不相等，大学里你会学到引力叫作保守力，也就是说引力做功只与两物体始末位置相关，飞船第二次加速后沿阿尔珐轨道回到B点加速度与第二次加速瞬间后相比没有变化（因为引力没做功）因此两个加速不相等并且第二个大于第一个。这题的关键是天体沿一个轨道运动绕一圈回到原点的过程引力不做功，天体加速度不变！…用手机回答的，不容易啊，希望能帮到你，以后有问题积极问老师同学哦，呵呵，把分给我吧...
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很明确告诉你，两个加速度不相等，大学里你会学到引力叫作保守力，也就是说引力做功只与两物体始末位置相关，飞船第二次加速后沿阿尔珐轨道回到B点加速度与第二次加速瞬间后相比没有变化（因为引力没做功）因此两个加速不相等并且第二个大于第一个。这题的关键是天体沿一个轨道运动绕一圈回到原点的过程引力不做功，天体加速度不变！…用手机回答的，不容易啊，希望能帮到你，以后有问题积极问老师同学哦，呵呵，把分给我吧
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都是只受万有引力，万有引力提供加速度a：
GMm/R^2=ma
a=GM/R^2，R相同，所以总的加速度是相同的。
α轨道：向心加速度a2=a。
δ轨道：除了沿法线方向的向心加速度a1外，还有一个沿切线的平动加速度a3。
而速率在B点时是最小，所以可知平动加速度a3为0（斜率为0，极值点导数是0），所以a=a1。另一方向：a3的方向是沿切线的，a1和a的方向...
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都是只受万有引力，万有引力提供加速度a：
GMm/R^2=ma
a=GM/R^2，R相同，所以总的加速度是相同的。
α轨道：向心加速度a2=a。
δ轨道：除了沿法线方向的向心加速度a1外，还有一个沿切线的平动加速度a3。
而速率在B点时是最小，所以可知平动加速度a3为0（斜率为0，极值点导数是0），所以a=a1。另一方向：a3的方向是沿切线的，a1和a的方向都是法线的，a=a1+a3(矢量相加)，也可知a3=0。
所以：a1=a2.
如果直接用a=v^2/R(R是曲率半径)，δ轨道v小（能量低），曲率半径也小，所以是无法判断a1和a2的大小的。
顺便说一句，变轨时质量是变化的（加速，向后释放一部分质量，反冲）。
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1在长轴端点的曲率半径是b^2/a（短轴端点的曲率半径是a^2/b）。
c^2=a^2-b^2, 焦点是(c,0)，地球在其一个焦点上（开普勒第一定律）。
所以：OA=a-c, OB=a+c
a2=GM/(a+c)^2
在A点速度为v1，B点速度为v2
根据开普勒第二定律：
v1*(a-c)=v2*(a+c)
根据能量守恒：
mv1^2/2-mv2^2/2=GMm/(a-c)-GMm/(a+c)
v1^2-v2^2=4cGM/b^2
将v1=v2*(a+c)/(a-c)代入上式：
v^2*4ac/(a-c)^2=4cGM/b^2
v^2=GM*(a-c)^2/ab^2
a2=v2^2/ρ
=[GM*(a-c)^2/ab^2]/[b^2/a]
=GM*(a-c)^2/b^4
=GM*(a-c)^2/(a^2-c^2)^2
=GM/(a+c)^2
=a1
这和前面得出了相同的结论！这次仅从能量出发得出了和万有引力定律相同的结论，这也说明了B点也是万有引力提供向心力！然而这比前面复杂得多！
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不相等，a=V2/r<呵呵，平方不会打>加速千余加速后不等a1/=a2
我的妈呀，这是高中题吗？
100%的告诉你绝对不等，第一次在B点的万有引力除了提供向心力外还提供一个加速度，即还要对该卫星做功（从B点靠近地球速度逐渐变大，动能增加），故向心力小于万有引力，即向心加速度小于万有引力提供的加速度，而第二次做圆周运动时向心力等于万有引力，向心加速度等于万有引力提供的加速度，在B点两次的万有引力都相等，故得出a1
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100%的告诉你绝对不等，第一次在B点的万有引力除了提供向心力外还提供一个加速度，即还要对该卫星做功（从B点靠近地球速度逐渐变大，动能增加），故向心力小于万有引力，即向心加速度小于万有引力提供的加速度，而第二次做圆周运动时向心力等于万有引力，向心加速度等于万有引力提供的加速度，在B点两次的万有引力都相等，故得出a1
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不相等，A1是按椭圆轨迹运动，而A2加速后是沿着园轨迹运动，有万有引力定律得要维持卫星做圆周运动所提供的加速度大于卫星按椭圆轨迹运动所提供的加速度，所以A2大于A1
相等的，速度不相等，椭圆的近地点大于小圆，大于大圆，大于 椭圆远地点
不相等 相等的话运动轨迹一样
加速度正比于卫星所受合力，而此时卫星只受万有引力，引力反比于距离平方。只要距离一样，则加速度相同。
当然相等！首先要明白，向心加速度由什么决定。由牛顿第二定律，F=ma得，向心加速度由合力决定，而在太空中，受到的只有万有引力，所以只要看万有引力是否相同就可以。由F=GMm/R^2得，万有引力一样，所以a1＝a2。
而在这椭圆轨道中，a＝v^2/r并不适用。
这一问题也可以用离心运动解释，在B点加速，万有引力不变，向心加速度不变，但因速度增加，所需的向心加速度增加，万有引力提供的加...
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当然相等！首先要明白，向心加速度由什么决定。由牛顿第二定律，F=ma得，向心加速度由合力决定，而在太空中，受到的只有万有引力，所以只要看万有引力是否相同就可以。由F=GMm/R^2得，万有引力一样，所以a1＝a2。
而在这椭圆轨道中，a＝v^2/r并不适用。
这一问题也可以用离心运动解释，在B点加速，万有引力不变，向心加速度不变，但因速度增加，所需的向心加速度增加，万有引力提供的加速度不足，所以做离心运动，进入α轨道
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真理为什么老在少数人手里呢 ！不就是个填空题嘛，当然是a1=a2了，决定a 的大小是力，不是其它。
a=v²／R,因为第一次的速度V1＜V2，所以a1＜a2
相等 这是高中题目，不要想的太复杂
根据题中的条件，卫星两次经过B点时，只受万有引力作用。合外力就是万有引力
因为都是在B处，和地球距离R，以及地球，卫星质量都是定值，所以加速度相等
而且两次经过B点时速度方向和引力方向（合外力）垂直，所以加速度=向心加速度...
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相等 这是高中题目，不要想的太复杂
根据题中的条件，卫星两次经过B点时，只受万有引力作用。合外力就是万有引力
因为都是在B处，和地球距离R，以及地球，卫星质量都是定值，所以加速度相等
而且两次经过B点时速度方向和引力方向（合外力）垂直，所以加速度=向心加速度
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不相等，在B点受到的合外力相等，在外边的大圆上运动是没有切向加速度，而在椭圆轨道上运动时有切向加速度，和外力等分解为切向力和向心力，所以两次用于向心加速度的力不同，所以加速度不同。
是相等的。
此时都是万有引力提供向心力也就是向心加速度。
加速度只与合外力有关，与瞬时速度无关。
楼上已经有很多同志提供证明过程了，其实很简单的过程而已。不要太多公式的。
不过要证明椭圆就要用到积分了。这个我忘记了，只记得是大学的《高等数学A》里学的。...
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是相等的。
此时都是万有引力提供向心力也就是向心加速度。
加速度只与合外力有关，与瞬时速度无关。
楼上已经有很多同志提供证明过程了，其实很简单的过程而已。不要太多公式的。
不过要证明椭圆就要用到积分了。这个我忘记了，只记得是大学的《高等数学A》里学的。
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相等，牛二定律就告诉你了，别把问题复杂化了，从定义出发
加速度就是合力除以质量
两次肯定相等了（100000000000000%肯定）
有的说两次速度不一样，a＝v^2/r知两次a不一样
其实两次r才是不一样的，这里r其实是轨道曲率半径，第一次是椭圆轨道.在B点处的曲率半径比圆轨道小，不能由a＝v^2/r得出a1,a2相等
还有搞清楚第一次在A点加速，第二次在B点加速，第二次加速后轨道变成圆轨道
对于下面这种说法...
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加速度就是合力除以质量
两次肯定相等了（100000000000000%肯定）
有的说两次速度不一样，a＝v^2/r知两次a不一样
其实两次r才是不一样的，这里r其实是轨道曲率半径，第一次是椭圆轨道.在B点处的曲率半径比圆轨道小，不能由a＝v^2/r得出a1,a2相等
还有搞清楚第一次在A点加速，第二次在B点加速，第二次加速后轨道变成圆轨道
对于下面这种说法
100%的告诉你绝对不等，第一次在B点的万有引力除了提供向心力外还提供一个加速度，即还要对该卫星做功（从B点靠近地球速度逐渐变大，动能增加），故向心力小于万有引力，即向心加速度小于万有引力提供的加速度，而第二次做圆周运动时向心力等于万有引力，向心加速度等于万有引力提供的加速度，在B点两次的万有引力都相等，故得出a1
向心力外还提供一个加速度，向心力小于万有引力
那自由落体的物体，重力还要做功，是不是加速度就小于g?显然不是
向心力小于万有引力， 那其余的力哪去了？
概念都没弄清楚
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相等！
1、搞不清楚万有引力和向心运动中有关半径的定义。
万有引力定律 F = GMm/R^2 中的 R 不是所谓的曲率半径，或者明确的说，最好别用什么 R 来表示，改用 L 更明确，这个参量表征的就是两个物体之间的直线距离。
因此，以看到LS的张笃一写到：F1=GMm/r1^2 ， F2=GMm/r2^2，后面的分析就不用看了，定义都没搞清楚。
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相等！
1、搞不清楚万有引力和向心运动中有关半径的定义。
万有引力定律 F = GMm/R^2 中的 R 不是所谓的曲率半径，或者明确的说，最好别用什么 R 来表示，改用 L 更明确，这个参量表征的就是两个物体之间的直线距离。
因此，以看到LS的张笃一写到：F1=GMm/r1^2 ， F2=GMm/r2^2，后面的分析就不用看了，定义都没搞清楚。
而向心运动的公式是 F = mv^2/r ，这个公式里面的 r 才是物体做曲线运动的曲率半径，特别情况下，圆周运动的曲率半径正好等于其轨迹的几何半径。
那么显然根据定义，如果忽略质量的变化，在同一个点上的加速度肯定就是一样的，得出结果 a1 = a2 。
2、说什么万有引力分成两个方向的更是无稽之谈。
作为讨论的重点B点，我们要考虑要比较的是这个瞬时的状态，在这个时刻，假设卫星是顺时针运行的，那么卫星运行到 B 点的速度就是水平向右的，此时的万有引力是和瞬时速度垂直的，何来分解两个方向一说？
3、当我们列出 GMm/L^2 = mv^2/r 这个等式的时候,我们要考虑这个式子表达的到底是什么意思。
这个方程的左边是万有引力，是实际的受力状况，而右边的一项是什么意思呢？其实方程的右边是物体在该点状态下能让其做圆周运动所需要的力，注意，关键词是“所需要的”，而不是实际受到的力。
那么具体到这个题目是什么意思呢？
也就是说，卫星沿α轨道运行到B点时，维持它以这个速度做圆周运动所需要的向心力正好等于在该点受到的万有引力，因此它才做圆周运动；
而沿着δ轨道运动到B点时，它具有一定的速度，而使其以该速度做圆周运动所需要的向心力要比在该点受到的万有引力要小，那么它就会做向心运动，那么我们假设突然之间地球的质量减小了，万有引力减小到正好与它所需要的向心力一样大了，这个物体就会不用加速也能沿着α轨道运行了。
总之，上面很多同志们谈的甚至是比的加速度大小都是它“所需要的”大小，而不是实际由于万有引力产生的加速度大小，因此才会得出两者加速度不同的结论。
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不相等
不等啊 加上同样的力效果不同 加上相等的万有引力 一个向外飞一个向内飞 嗯 就这样 算起来很麻烦就不算了 咱话糙理不糙
加速度是相等的。
对于这一类问题，我们首先要搞清楚：加速度是怎么产生的--力作用在物体上，使物体有了加速度。但是，这个题我们都明白是万有引力使物体有加速度。（向心力其实并不存在，只是万有引力使得卫星作圆周运动，所以在这里我们把万有引力叫做向心力。希望对你有帮助。）
我想问问那些说不相等的人，你们说不相等，那么加速度是怎么产生的？不相等就必然有另外一个力来改变加速度的大小，那么我又问...
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加速度是相等的。
对于这一类问题，我们首先要搞清楚：加速度是怎么产生的--力作用在物体上，使物体有了加速度。但是，这个题我们都明白是万有引力使物体有加速度。（向心力其实并不存在，只是万有引力使得卫星作圆周运动，所以在这里我们把万有引力叫做向心力。希望对你有帮助。）
我想问问那些说不相等的人，你们说不相等，那么加速度是怎么产生的？不相等就必然有另外一个力来改变加速度的大小，那么我又问你们，是什么力使得加速度改变的？如果真有这么一个力存在，我又问你们，到底是使加速度增大了还是减小了？请给出具体的解析过程。
真理永远掌握在少数人手里。
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相等，要清楚：你求的是向心加速度而不是离心加速度！
向心加速度相等，而离心加速度不等
同时支持<打咩>的回答：
//
当然相等！首先要明白，向心加速度由什么决定。由牛顿第二定律，F=ma得，向心加速度由合力决定，而在太空中，受到的只有万有引力，所以只要看万有引力是否相同就可以。由F=GMm/R^2得，万有引力一样，所以a1＝a2。
而在这椭圆轨道中，a＝v^...
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相等，要清楚：你求的是向心加速度而不是离心加速度！
向心加速度相等，而离心加速度不等
同时支持<打咩>的回答：
//
当然相等！首先要明白，向心加速度由什么决定。由牛顿第二定律，F=ma得，向心加速度由合力决定，而在太空中，受到的只有万有引力，所以只要看万有引力是否相同就可以。由F=GMm/R^2得，万有引力一样，所以a1＝a2。
而在这椭圆轨道中，a＝v^2/r并不适用。
这一问题也可以用离心运动解释，在B点加速，万有引力不变，向心加速度不变，但因速度增加，所需的向心加速度增加，万有引力提供的加速度不足，所以做离心运动，进入α轨道
//
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相等的啦
相等，卫星质量都是一定的，所以加速度相等。
且2次经过B点时速度方向和引力方向合外力垂直，加速度=向心加速度