举例说明解分式方程产生增根的原因
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 01:40:44
举例说明解分式方程产生增根的原因
举例说明解分式方程产生增根的原因
举例说明解分式方程产生增根的原因
在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使最简公分母为0,（根使整式方程成立,而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根 例：X-2 16 X+2 —— - —— = —— X+2 X^2-4 X-2 (X-2)^2-16=(X+2)^2 X^2-4X+4-16=X^2+4X+4 X^2-4X-X^2-4X=4+16-4 -8X=16 X=-2 但是X=-2使X+2和X^2-4等于0,所以X=-2是增根 分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母的值不为0,则此解是分时方程的解,若最简公分母的值为0,则此解是增根.例如:设方程 A(x)=0 是(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.
编辑本段非函数方程增根介绍
在两非函数方程（如圆锥曲线）联立求解的过程中,增根的出现主要表现在定义域的变化上.例如：若已知椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0),O为原点坐标,A为椭圆右顶点,若椭圆上存在一点P,使OP⊥PA,求椭圆的圆心率的范围.存在一种解法：椭圆上存在一点P,使OP⊥PA,即是以OA为直径画圆,要求与椭圆有除了A(a,0)以外的另外一个解.所以联立椭圆和圆的方程：(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1 (x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0 →b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 （*） 因为有两个根,所以△>0 ∴△=(2b^2-a^2)>0 ∴e≠（1/2）^(1/2) （二分之根号二） 而正解却是 由（*）得 x1=a x2=a·b^2/c^2 ∴00)联立方程式得 b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0 由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^20.联立方程式求解误认为x∈R .（另外我们还知道|x1|0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得 b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0 由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^20 可知,若x1>0,则x20)中的隐含定义域x>0.联立方程式求解误认为x∈R .（另外我们还知道|x1|>|x2|）
编辑本段无理数方程增根介绍
√ （2X^2-X-12）=X 两边平方得2X^2-X-12=X^2 得X^2-X-12=0 得X=4或X=-3(增根） 出现增根的原因是由于两边平方忽略了上式的X＞0且根号内的值大于等于0.由于同样的粗心,错误还会在无理不等式中体现
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