过椭圆（长半轴为a,短半轴为b)左焦点的弦AB,F是右焦点,求三角形FAB的最大面积.

过椭圆（长半轴为a,短半轴为b)左焦点的弦AB,F是右焦点,求三角形FAB的最大面积.
过椭圆（长半轴为a,短半轴为b)左焦点的弦AB,F是右焦点,求三角形FAB的最大面积.

过椭圆（长半轴为a,短半轴为b)左焦点的弦AB,F是右焦点,求三角形FAB的最大面积.
就以焦点在x轴上的椭圆为例吧,设椭圆方程为：x²/a²+y²/b²=1
设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设点A在x轴上方,点B在x轴下方
易知AB的斜率肯定不为0,则可设AB：x=ky-c,k∈R
面积S=cy1-cy2=c(y1-y2)
把x=ky-c代入椭圆
得：(k²+a²/b²)y²-2cky+c²-a²=0
y1+y2=2ck/(k²+a²/b²)=2cb²k/(b²k²+a²),y1y2=(c²-a²)/(k²+a²/b²)=-b^4/(b²k²+a²)
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2
=4(cb²k)²/(b²k²+a²)²+4b^4/(b²k²+a²)
=[4c²k²b^4+4(b²k²+a²)b^4]/(b²k²+a²)²
=4[k²(c²+b²)+a²]b^4/(b²k²+a²)²
=4a²(k²+1)b^4/(b²k²+a²)²
面积最大即(y1-y2)²最大,即：(k²+1)/(b²k²+a²)²
令y=f(k)=(k²+1)/(b²k²+a²)²,则S²=4ya²c²b^4 ①
令b²k²+a²=t,则k²=(t-a²)/b²,t≧a²
y=[(t-a²)/b²+1]/t²=(t/b²-c²/b²)/t²=-(c²/b²)*(1/t²)+(1/b²)*(1/t)
令1/t=m,则0

可以参考此例题的方法，自己进行变通哈
设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，
弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值
a²=3,b²=2
c²=3-2=1
c=1
所以F1F2=2c=2
假设A在x上方，B在下方
直线过(1,0)
设直线是x-1=m(y-0)
x=m...

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可以参考此例题的方法，自己进行变通哈
设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，
弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值
a²=3,b²=2
c²=3-2=1
c=1
所以F1F2=2c=2
假设A在x上方，B在下方
直线过(1,0)
设直线是x-1=m(y-0)
x=my+1
代入2x²+3y²=6
(2m²+3)y²+4my-4=0
y1+y2=-4m/(2m²+3),y1y2=-4/(2m²+3)
三角形F1AB=三角形F1F2A+F1F2B
他们底边都是F1F2=2
则面积和最小就是高的和最小
即 |y1|+|y2|
因为AB在x轴两侧,所以一正一负
所以|y1|+|y2|=|y1-y2|
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=16m²/(2m²+3)²+16/(2m²+3)
|y1-y2|=4√[m²+(2m²+3)]/(2m²+3)
=4√3*√(m²+1)]/(2m²+3)
令√(m²+1)=p
2m²+3=2p²+1
且p>=1
则p/(2p²+1)=1/(2p+1/p)
分母是对勾函数
所以p=√(1/2)=√2/2时最小
这里p>=1,所以p=1,2p+1/p最小=3
此时p/(2p²+1)最大=1/3
所以|y1-y2|最大=4√3*1/3
所以最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3

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三角形FAB的最大面积为焦点与短轴顶点连线相互垂直的等边直角三角形，
此直角三角形直角边长即为a，斜边上的高即是b
S=b√（a²-b²）

焦点坐标为左交点（-√(a^2-b^2) , 0），（√(a^2-b^2), 0）
F点坐标是（√(a^2-b^2), 0）
当AB垂直于X 轴时面积最大，
A 点的Y坐标=b^2/a
B 点的Y坐标=-b^2/a
其X轴坐标都是（-√(a^2-b^2)，0）
角形FAB的最大面积=AB*左右焦点距离 /2 = 2b^2/a*(2√(a^2-b^2)...

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焦点坐标为左交点（-√(a^2-b^2) , 0），（√(a^2-b^2), 0）
F点坐标是（√(a^2-b^2), 0）
当AB垂直于X 轴时面积最大，
A 点的Y坐标=b^2/a
B 点的Y坐标=-b^2/a
其X轴坐标都是（-√(a^2-b^2)，0）
角形FAB的最大面积=AB*左右焦点距离 /2 = 2b^2/a*(2√(a^2-b^2))/2=2b^2(√(a^2-b^2))/a

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以椭圆左焦点为极点，极轴与长轴重合，建立极坐标系，e为离心率，则椭圆极坐标方程为R=a(1-e^2)/(1-ecosA)，A为半径与极轴的夹角，设A的坐标（a(1-e^2)/(1-ecosA)，A）,则B(a(1-e^2)/(1+ecosA)，π+A)，|AB|= a(1-e^2)/(1-ecosA)+ a(1-e^2)/(1+ecosA)= 2a(1-e^2)/(1-e^2*(cosA)^2),...

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以椭圆左焦点为极点，极轴与长轴重合，建立极坐标系，e为离心率，则椭圆极坐标方程为R=a(1-e^2)/(1-ecosA)，A为半径与极轴的夹角，设A的坐标（a(1-e^2)/(1-ecosA)，A）,则B(a(1-e^2)/(1+ecosA)，π+A)，|AB|= a(1-e^2)/(1-ecosA)+ a(1-e^2)/(1+ecosA)= 2a(1-e^2)/(1-e^2*(cosA)^2),焦距2c=2a*e,则三角形FAB的面积S=1/2*|AB|*2c*sinA=2a^2*e(1-e^2)/(1-e^2*(cosA)^2)*sinA=2a^2*e(1-e^2) sinA /(1-e^2*(cosA)^2)对A求导数并等于0，S’=2a^2*e(1-e^2)cosA(1-e^2-(esinA)^2)/( (1-e^2*(cosA)^2)^2=0, cosA(1-e^2-(esinA)^2)/( (1-e^2*(cosA)^2)^2=0cosA=0或1-e^2-(esinA)^2=0,且1-e^2*(cosA)^2≠0当cosA=0时,sinA=1, S1=2a^2*e(1-e^2)=2b^2*√(a^2-b^2)/a当1-e^2-(esinA)^2=0时，(sinA)^2=(1-e^2)/ e^2, sinA =√(1-e^2)/ e, (cosA)^2=(2e^2-1)/e^2, S2=2a^2*e(1-e^2)* √(1-e^2)/ e/[1-e^2*(2e^2-1)/e^2]=a^2*√(1-e^2)=abS1或S2何者为最大，取决于a,b的具体值。

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