棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点,求异面直线PQ与EF所成角的余弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 22:32:12
棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点,求异面直线PQ与EF所成角的余弦值
棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点,求异面直线PQ与EF所成角的余弦值
棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点,求异面直线PQ与EF所成角的余弦值
取AD和A1D1的中点为G、H,连接GQE三点共线且⊥AD,连接GPH三点共线且⊥AD,AD⊥面EGH,PQ∥HE,HE=√2a,连接FH,FH=√2a/2,EF=√(EC²+CC1²+FC1²)=√(a²/4+a²+a²/4)=√6a/2,在△EFH中由余弦定理得：FH²=HE²+EF²-2HEEFcos∠HEF,a²/2=2a²+3a²/2-√12a²cos∠HEF,cos∠HEF=√3/2,HE与EF所成角的余弦值=√3/2,则异面直线PQ与EF所成角的余弦值=√3/2.
做辅助线 连接AC 易知Q为AC中点 连接CD1 可得PQ与CD1平行---结论1
连接QE QD1 得到四边形D1FEQ 易知D1F//QE 且D1F=QE 得四边形D1FEQ为平行四边形 所以EF//QD1------结论2
联合结论1 2 将PQ与EF所成角的余弦值转化为 CD1与QD1所成角的余弦值 剩下的都简单了 两边都在同一三角形内 可以设正方体边长为1 利用中点...
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做辅助线 连接AC 易知Q为AC中点 连接CD1 可得PQ与CD1平行---结论1
连接QE QD1 得到四边形D1FEQ 易知D1F//QE 且D1F=QE 得四边形D1FEQ为平行四边形 所以EF//QD1------结论2
联合结论1 2 将PQ与EF所成角的余弦值转化为 CD1与QD1所成角的余弦值 剩下的都简单了 两边都在同一三角形内 可以设正方体边长为1 利用中点信息去计算余弦值吧
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