A B 是n阶矩阵
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 00:24:53
A B 是n阶矩阵
A B 是n阶矩阵
A B 是n阶矩阵
23题吗?
(A) 反例A = E,B = -E,则(AB)^2 = E,但AB = -E ≠ E.
(B) 如果n是奇数,上面的反例其实就可以了,因为|A|·|B| = |-E| = (-1)^n = -1.
一般的,取A = E,B = diag{-1,1,1,...,1},则(AB)^2 = E,但|A|·|B| = |B| = -1.
(C) 取A是右上到左下的对角线是1其余为0的矩阵,
B是在A的基础上把左下角改成-1的矩阵.
可算得AB = diag{-1,1,1,...,1},(AB)^2 = E.
而BA = diag{1,1,1,...,-1} ≠ AB.
(D) 选项不全,猜测是(BA)^2 = E.
因为A(BAB) = ABAB = (AB)^2 = E,所以A与BAB互为逆矩阵.
所以(BA)^2 = BABA = (BAB)A = E.
顺便说一下22题.
首先(C)明显是充要条件:
(C) (A-B)(A+B) = A^2+AB-BA-B^2,(A+B)(A-B) = A^2+BA-AB-B^2.
因此A-B与A+B可交换等价于AB-BA = BA-AB,等价于AB = BA.
易见(A)(B)(D)都是必要的,这里给出充分性反例.
(A) 取A = [1,0;0,0],B = [-2,1;0,0].
有(A+B)^3 = [-1,1;0,0] = A+B.
易得AB = B,A^3 = A^2 = A,B^2 = -2B,B^3 = 4B,
故A^3+3A^2·B+3AB^2+B^3 = A+3B+3B^2+B^3 = A+3B-6B+4B = A+B = (A+B)^3.
但AB = [-2,1;0,0] ≠ [-2,0;0,0] = BA.
(B) 取A = [0,1;0,0],B = [0,0;1,0].
有A^2 = B^2 = 0,显然可交换.
但AB = [1,0;0,0] ≠ [0,0;0,1] = BA.
(D) 取A = [1,0;0,0],B = [0,0;1,0].
易得B^2 = 0,故A^2·B^2 = 0.
又AB = 0,故(AB)^2 = A^2·B^2.
但BA = [0,0;1,0] ≠ 0 = AB.