立体几何 正三棱柱正三棱柱ABCD-A1B1C1D1所有棱长均为2,P是侧棱AA1上任意一点.当BC1垂直于B1P时,求AP的长
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 09:41:01
立体几何 正三棱柱正三棱柱ABCD-A1B1C1D1所有棱长均为2,P是侧棱AA1上任意一点.当BC1垂直于B1P时,求AP的长
立体几何 正三棱柱
正三棱柱ABCD-A1B1C1D1所有棱长均为2,P是侧棱AA1上任意一点.当BC1垂直于B1P时,求AP的长
立体几何 正三棱柱正三棱柱ABCD-A1B1C1D1所有棱长均为2,P是侧棱AA1上任意一点.当BC1垂直于B1P时,求AP的长
做辅助图：
在面AA1B1B上过点B做PB1的平行线P'B它与AA1交于点P'.
连接点P'C1、P'B、BC1.
由于P'B平行于PB,当BC1垂直于B1P时,P'B也垂直于BC1.
当BC1垂直于B1P时,三角形P'BC1和P'A1C1都是直角三角形,且有共同的斜边P'C.于是,可以据此列出方程,求出P'A的长度：
(P'A+AA1)^2+A1C1^2=P'B^2+BC1^2=(P'A^2+AB^2)+(BC^2+CC1^2)
因为AA1=2,A1C1=2,AB=2,BC=2,CC1=2
可以解出P'A的值,于是AP=AA1-P'A
AP=1
过程可能有点复杂请耐心看完
连接PC,CB1,BC1,CB1与BC1交点为O，过点P作面PMN//面ABC分别交BB1、CC1于点M、N。过点P作PH⊥MN交MN于点H，连接CH
由题设正三棱柱知BC1⊥CB1，又BC1⊥B1P∴BC1⊥面B1PC∴BC1⊥PC
又面PMN//面ABC∴三角形PMN亦为正三角形∴PH⊥MN 又BB1⊥面ABC
∴...
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AP=1
过程可能有点复杂请耐心看完
连接PC,CB1,BC1,CB1与BC1交点为O，过点P作面PMN//面ABC分别交BB1、CC1于点M、N。过点P作PH⊥MN交MN于点H，连接CH
由题设正三棱柱知BC1⊥CB1，又BC1⊥B1P∴BC1⊥面B1PC∴BC1⊥PC
又面PMN//面ABC∴三角形PMN亦为正三角形∴PH⊥MN 又BB1⊥面ABC
∴BB1⊥面PMN∴BB1⊥PH∴PH⊥面BCC1B1∴PH⊥BC1∴BC1面PHC
∴BC1⊥CH又平面BB1C1C中BC1⊥B1C∴CH与CB重合且点H与点O重合
及此时点P为AA1中点
故而AP=（1/2）AA1=（1/2）*2=1
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