为什么在信号处理中只用傅立叶变换和小波变换?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 14:23:12
为什么在信号处理中只用傅立叶变换和小波变换?
为什么在信号处理中只用傅立叶变换和小波变换?
为什么在信号处理中只用傅立叶变换和小波变换?
没有人规定在信号处理中必须要使用傅里叶变换或者小波变换.对于这两种变换来说,他们侧重要解决的问题是不同的.\x0d在傅里叶变换中,如果一个信号在实数域满足勒贝格可度量条件（Lebesgue-measurable）则这个信号的傅里叶变换收敛.通过傅里叶变换我们可以看到的是信号的时域特征被完全的变换到了频率域.这时在时域中不明显的周期性变化被直观的反应到了对应的频率域.数学上这样的变换是没有问题的,可是如果信号有非稳定性（non-stationary）则对应傅里叶变换不能得到信号随时间所产生变化的变化趋势.例如我们录制一个某人一分钟的演讲,通过傅里叶变换我们可以知道这个信号的所有频率分量分布,可是如果要知道某个音素的频率特征则无法得到.因为整个时域的信号被完全转移到了频率域.\x0d为了得到时间-频率分布信息,第一个被使用的方法是Gabor在1946（Theory of communication\x0dElectrical Engineers - Part III: Radio and Communication Engineering, Journal of the Institution of, 1946, 93, 442-445）年创造的短时傅里叶变换,这个方法相当于一个加窗的傅里叶变换,每次执行傅里叶变换前先用一个窗函数提取信号的一个局部.这个方法的假设是在这个窗函数的范围中信号是线性和稳定的.通过在时域移动这个窗函数,可以想象我们就得到了信号粗略的时间频率分布信息.\x0d但是这个方法的弊端也是很明显的,如果要更好的时域分辨率,那么这个窗函数需要尽可能的短.可是一个短的窗函数可以保留的数据样点就少,这是频率分辨率就很低.为了提高频域分辨率,就要加长这个窗函数,但是时域分辨率就会降低.这就是经典的理论中的时间频率海森博格不确定性（Mallat, S., a Wavelet Tour of Singal Processing,Elsevier, 2009）.\x0d小波变换的完备性证明由Daubechies（The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis,IEEE Transactions on Information Theory, IEEE, 1990, 36, 961-1005）在1990年代证明完后得到了大规模的应用.不同于傅里叶变换中信号被分解为三角函数的叠加,小波变换中使用母小波（mother wavelet）为模板,整个变换通过伸缩和平移这个母小波来得到.在低频域中,母小波被压缩,时域分辨率高,高频域中,母小波被拉伸,频率分辨高.由于小波变换的这种特性,它被广泛的用于需要时间频率分析的信号处理当中.\x0d通过以上内容就可以看到,在信号处理中不是非要使用傅里叶变换或者小波变换.当所针对问题需要信号的频率特征时才会使用这两种方法.而这些方法论也是在不断的演进和变革的.在小波分析当中,虽然信号的局部特征比短时傅里叶变换中得到的更精确,可是选择一个合适的母小波却成为了一个关键问题.这个母小波需要满足特定条件,入紧支持（Compact support）,积分条件等.而且这个母小波需要能很好的贴合原始信号中的某些特征.更重要的是,小波变换还是无法完全处理信号的非线性和非稳定性问题.在1998年Hilbert-Huang变换被提出,这个方法是现在已知方法中对非线性和非稳定信号支持最好的方法,自被提出以来受到了广泛的应用.\x0d希望这些能回答你的问题.