设实数n小于等于6,若不等式2xm+(2-x)n-8大于等于0对任意x∈[-4,2]都成立 则(m^4—n^4)/m^3*n的最小值要有详细过程.（先透露标答 —80/3）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 03:57:29
设实数n小于等于6,若不等式2xm+(2-x)n-8大于等于0对任意x∈[-4,2]都成立 则(m^4—n^4)/m^3*n的最小值要有详细过程.（先透露标答 —80/3）
设实数n小于等于6,若不等式2xm+(2-x)n-8大于等于0对任意x∈[-4,2]都成立 则(m^4—n^4)/m^3*n的最小值
要有详细过程.（先透露标答 —80/3）
设实数n小于等于6,若不等式2xm+(2-x)n-8大于等于0对任意x∈[-4,2]都成立 则(m^4—n^4)/m^3*n的最小值要有详细过程.（先透露标答 —80/3）
因为2xm+(2-x)n-8大于等于0
设y=2xm＋﹙2－x﹚n－8
整理,y=﹙2m－n﹚x＋﹙2n－8﹚
当2m－n＞0时,因为x∈[-4,2],
所以y最小值=﹙2m－n﹚·﹙－4﹚＋﹙2n－8﹚=－8m＋6n－8
当2m－n＜0时,因为x∈[-4,2],
所以y最小值=﹙2m－n﹚·2＋﹙2n－8﹚=4m－8
不等式2xm+(2-x)n-8大于等于0对任意x∈[-4,2]都成立
根据题意得 －8m＋6n－8≥0且4m－8≥0
所以 n≥⅓﹙4m＋4﹚且m≥2
因为实数n小于等于6,所以≥⅓﹙4m＋4﹚≤6,解之得m≤7／2,所以2≤m≤7／2
所以﹙m⁴－n⁴﹚／n·m³=﹙m／n﹚－﹙n／m﹚³
当且仅当m=2,n=6时(m^4—n^4)/m^3*n的最小值=﹙m／n﹚－﹙n／m﹚³
=2／6－﹙6／2﹚³
=－80／3
对任意x∈[-4,2]都成立
令f(x)=2xm+(2-x)n-8
依题意：
f(-4)≥0
f(2)≥0
n≤6
所以：
4m-3n+4≤0
m≥2
n≤6
利用线性规划求得n/m的最大值为3
设t=n/m,则t≤3
所求代数式可转化为1/t-t^3
设g(t)=1/t-t^3
此函数是减函数
所以当t=3时，g(t)取最小值-80/3