已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边距离等于这条边所对的边的一半.（用几何法)求助

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 20:13:06
已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边距离等于这条边所对的边的一半.（用几何法)求助已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边距离等于这条边所对的边的一半.（用几何法)求助

已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边距离等于这条边所对的边的一半.（用几何法)求助
已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边距离等于这条边所对的边的一半.（用几何法)
求助

已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边距离等于这条边所对的边的一半.（用几何法)求助
证明:
如图,设四边形ABCD内接于圆M,AC⊥BD交于F
作MN⊥AD于N,连接AM并延长交圆M于E,连接FD
∵AE为直径
∴ED⊥AD
又MN⊥AD
∴MN‖ED
∴MN=(AM/AE)ED=ED/2
又∠AED=∠ACD (同弧所对圆周角相等)
∠EDA=∠CFD=Rt∠
∴∠EAD=∠CDB 
∴ED=BC
∴MN=BC/2
证毕

见图

因为AC垂直BD，所以∠BOC=90.

OE为圆心到一边的距离，所以OE垂直BC，∠OEB=∠OEC=90，

又因为OB=OC=圆半径，所以直角三角形OBE全等与直角三角形OCE，所以∠EOB=∠EOC=45。所以∠OBE=∠OCE=45。所以OE=EB=EC,OE=1/2的BC，即证

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