P是正方形ABCD的边BC上一点,BP=3PC,M是AB的中点,MN⊥AP于N,求证：MN×MN=AN×PN
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 05:23:15
P是正方形ABCD的边BC上一点,BP=3PC,M是AB的中点,MN⊥AP于N,求证：MN×MN=AN×PN
P是正方形ABCD的边BC上一点,BP=3PC,M是AB的中点,MN⊥AP于N,求证：MN×MN=AN×PN
P是正方形ABCD的边BC上一点,BP=3PC,M是AB的中点,MN⊥AP于N,求证：MN×MN=AN×PN
证明：连AM,PM,设正方形边长为4a,
因为BP=3PC,
所以PC=a,
因为M是AB的中点,
所以MC=DM=2a
所以AD/MC=4a/2a=2,DM/PC=2a/a=2,
所以AD/MC=DM/PC
又在正方形ABCD中,∠D=∠C=90,
所以△ADM∽△MCP
所以∠AMD=∠MPC,
因为∠MPC+∠PMC=90°
所以∠AMD+∠PMC=90°
所以∠AMP=180-∠AMD-∠PMC=180-90=90
所以△AMP是直角三角形
因为MN⊥AP于N,
所以MN×MN=AN×PN（射影定理）
或者证明△AMN∽△MPN
所以MN/PN=AN/MN
即：MN×MN=AN×PN
应用的是相似三角形的知识。连接AM和PM，BP=3PC，所以PC=1／4 BC，又因为正方形ABCD，所以BC=CD=AD,因为M是AB的中点，所以DM=MC=1／2BC=1／2CD=1／2AD，所以PC／MC=DM／AD=1／2,又因为∠C=∠D=90°,所以三角形PMC∽三角形MAD,所以∠AMP=90°，又因为MN⊥AP于N，所以三角形PNM∽三角形MNA,所以MN×MN=AN×PN。...
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应用的是相似三角形的知识。连接AM和PM，BP=3PC，所以PC=1／4 BC，又因为正方形ABCD，所以BC=CD=AD,因为M是AB的中点，所以DM=MC=1／2BC=1／2CD=1／2AD，所以PC／MC=DM／AD=1／2,又因为∠C=∠D=90°,所以三角形PMC∽三角形MAD,所以∠AMP=90°，又因为MN⊥AP于N，所以三角形PNM∽三角形MNA,所以MN×MN=AN×PN。
收起
连PM,AM,设AB=BC=CD=AD=4x,则BP=3x,PC=x,DM=CM=2x,,根据勾股定律可求出，AP=5x,PM=根号5，AM=2倍的根号5，则△AMP为直角三角形，又MN⊥AP于N，则可得△ANM相似于△PMN,所以AN/MN=MN/PN，即MN×MN=AN×PN。