已知：△AOB中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,∠ABO=∠DCO.连接AD.BC,点M.N.P分别为OA.OD.BC的中点 固定△AOB,将△COD绕点O旋转,求出PM的最大值（要过程!）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 01:28:30
已知：△AOB中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,∠ABO=∠DCO.连接AD.BC,点M.N.P分别为OA.OD.BC的中点 固定△AOB,将△COD绕点O旋转,求出PM的最大值（要过程!）
已知：△AOB中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,∠ABO=∠DCO.连接AD.BC,点M.N.P分别为OA.OD.BC的中点
固定△AOB,将△COD绕点O旋转,求出PM的最大值（要过程!）
已知：△AOB中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,∠ABO=∠DCO.连接AD.BC,点M.N.P分别为OA.OD.BC的中点 固定△AOB,将△COD绕点O旋转,求出PM的最大值（要过程!）
想想
（1）连接BM，CN，
∵△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=60°，
∴△AOB与△COD是等边三角形，
又∵点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点，
∴BM⊥AC，CN⊥BD，∠MBO=1 2 ∠ABO=∠NCO=1 2 ∠OCD=30°，
∴PM=PN=1 2 BC，
∴∠PBM=∠PMB，∠PCN=∠PNC，<...
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（1）连接BM，CN，
∵△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=60°，
∴△AOB与△COD是等边三角形，
又∵点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点，
∴BM⊥AC，CN⊥BD，∠MBO=1 2 ∠ABO=∠NCO=1 2 ∠OCD=30°，
∴PM=PN=1 2 BC，
∴∠PBM=∠PMB，∠PCN=∠PNC，
∵∠BAO=∠DCO=60°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠MBP+∠BCN=180°-∠ABM-∠DCN=120°，
∴∠BPM+∠NPC=360°-2（∠MBP+∠BCN）=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
∴PM=PN=MN，
∵AD=2MN，BC=2PM，
∴AD BC =1．
（2）证明：连接BM、CN．
由题意，得BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α．
∵A、O、C三点在同一直线上，∴B、O、D三点在同一直线上．
∴∠BMC=∠CNB=90°．∵P为BC中点，
∴在Rt△BMC中，PM= 1 2 BC．
在Rt△BNC中，PN= 1 2 BC，∴PM=PN．
∴B、C、N、M四点都在以P为圆心，1 2 BC为半径的圆上．∴∠MPN=2∠MBN．
又∵∠MBN= 1 2 ∠ABO=α，∴∠MPN=∠ABO．∴△PMN∽△BAO．
∴MN PM = AO BA ．由题意，MN= 1 2 AD，又PM= 1 2 BC．
∴AD BC = MN PM ．∴AD BC = AO BA ．
在Rt△BMA中，AM AB =sinα．
∵AO=2AM，∴AO BA =2sinα．∴AD BC =2sinα．
（3）5 2 ．
当CD∥AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值．
PM=（AB+CO）÷2=（2+3）÷2=5 2 ．
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