设函数f（x）＝log2 〔（2x－1）／（2x＋1）〕 （x＜－1／2或x＞1／2） 的反函数为f＾－1（x）．（1）证明f＾－1（x）是奇函数；（2）求f＾－1（x）的单调区间．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 20:55:08
设函数f（x）＝log2 〔（2x－1）／（2x＋1）〕 （x＜－1／2或x＞1／2） 的反函数为f＾－1（x）．（1）证明f＾－1（x）是奇函数；（2）求f＾－1（x）的单调区间．
设函数f（x）＝log2 〔（2x－1）／（2x＋1）〕 （x＜－1／2或x＞1／2） 的反函数为f＾－1（x）．
（1）证明f＾－1（x）是奇函数；
（2）求f＾－1（x）的单调区间．
设函数f（x）＝log2 〔（2x－1）／（2x＋1）〕 （x＜－1／2或x＞1／2） 的反函数为f＾－1（x）．（1）证明f＾－1（x）是奇函数；（2）求f＾－1（x）的单调区间．
1
若反函数存在,
根据函数性质,若原函数是奇函数,则反函数一定是奇函数.
考察原函数:
f（-x）＝log2 〔（-2x－1）／（-2x＋1）〕
=log2 〔（2x＋1）／（2x－1）〕
=log2 {〔（2x－1）／（2x＋1）〕^-1}
= -log2 〔（2x－1）／（2x＋1）〕
= -f（x）
而区间关于原点对称,
则说明原函数是奇函数.
则其反函数f＾－1（x）也是奇函数
2
根据函数性质,若反函数存在且原函数单调,则反函数的单调性与原函数同.
设a＜b＜－1／2,
则2a－1＜2b－1＜－2;2a＋1＜2b＋1＜0;
→（2a＋1）（2b－1）＞0;
a-b＜0;
→1+4（a-b）／（4ab-2a+2b-1)＜1
而（2a－1）（2b＋1）／（2a＋1）（2b－1）＞0．
则 f（a）-f（b）=log2 〔（2a－1）／（2a＋1）〕-log2 〔（2b－1）／（2b＋1）〕
=log2 〔（2a－1）（2b＋1）／（2a＋1）（2b－1）〕
=log2 〔（4ab+2a-2b-1）／（4ab-2a+2b-1）〕
=log2 〔（4ab-2a+2b-1 +4a-4b）／（4ab-2a+2b-1）〕
=log2 〔1+4（a-b）／（4ab-2a+2b-1）〕
由前面分析得知,0＜1+4（a-b）／（4ab-2a+2b-1）＜1.
则log2 〔1+4（a-b）／（4ab-2a+2b-1）〕＜0．
则当x＜－1／2时,f（a）-f（b）＜0;
f（a）＜f（b）;说明此时f（x）单调递增;
那么此时f（x）＜lim(x→－1／2)f（x）=+∞;
f（x）＞lim(x→－∞)f（x）=0.
同理,或由奇偶性可知,当x＞1／2时,f（x）单调递增;
此时f（x）＞lim(x→1／2)f（x）=－∞;
f（x）＜lim(x→+∞)f（x）=0.
由于各单调区间值域不重叠,故f（x）的反函数存在.
则:反函数 f＾-1（x）
在x∈(-∞,0)时单调递增;
在x∈(0,+∞)时单调递增;