已知x,y,z是一个三角形的三个内角,求三元方程2cosx+2cosy+2cosz=3的所有解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 23:34:38
已知x,y,z是一个三角形的三个内角,求三元方程2cosx+2cosy+2cosz=3的所有解
已知x,y,z是一个三角形的三个内角,求三元方程2cosx+2cosy+2cosz=3的所有解
已知x,y,z是一个三角形的三个内角,求三元方程2cosx+2cosy+2cosz=3的所有解
分析：
本题涉及的变量太多监考现场看到学生束手无策,反映了学生在数学学习过程中没有很好的体味到各章节知识的内在联系,以及基本的数学思维习惯.如下请看三种解法.
法一：借助高一下册p51练习中的恒等式即（和差化积）cosx+cosy=2cos cos
因为x+y+z=1800所以x+ y=1800-z
原式变为2（cosx+cosy）+2cos[1800-(x+y)]-3=0
即4cos cos -2cos(x+y)-3=0
即-4cos2 cos +4cos cos -1=0-----------(1)
视上式为关于cos 的一元二次方程有解则⊿≥0
得⊿=16 cos2 -16≥0
则cos2 =1因为为三角形内角得x=y同理y=z,z=x.所以x=y=z=600
法二：（解析法）
接上面解法得到
2（cosx+cosy）+2cos[1800-(x+y)]-3=0-----（3）
展开上式得
2（1- cosy）cosx+2sinysinx+2 cosy-3=0------（2）
设U= cosx ,V=sinx则上面得式子变为
2（1- cosy）U+2siny V+2 cosy-3=0视为关于U ,V的线段,
U2+ V2=1为一单位圆
线与圆相交或者相切则圆心到此线段距离≤1则
≤1整理即得到
（2cosy-1）2≤0即cosy= 得y=600同理得x=y=z=600
法三：（向量法）
接（2）式设 (2-2 cosy,2siny) ( cosx, sinx)
≤ .1
即得cosy= 因为为三角形内角所以y=600
同理得到x=y=z=600
继续思考还能得到辅助角公式,配方等解法在此从略.