求伯努利不等式的内容及说明!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 21:39:47
求伯努利不等式的内容及说明!
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基本概念
数学中的伯努利不等式是说：对任意整数n≥0,和任意实数x>-1, 有 (1+x)^n≥1+nx 成立； 如果n≥0是偶数,则不等式对任意实数x成立. 可以看到在n = 0,1,或x = 0时等号成立,而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1,x≠0,有 严格不等式： (1+x)^n>1+nx. 伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤. 伯努利不等式的一般式为 (1+x1+x2+x3···+xn)< =(1+x1)(1+x2)(1+x3)···(1+xn) 当且仅当n=1时等号成立 注：x后的字母或数字为下标
编辑本段证明
设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx. 证明: 用数学归纳法: 当n=1,上个式子成立, 设对n-1,有: (1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立, 则 (1+x)^n =(1+x)^(n-1)(1+x) >=[1+(n-1)x](1+x) =1+(n-1)x+x+(n-1)x^2 >=1+nx 就是对一切的自然数,当 x>=-1,有 (1+x)^n>=1+nx 下面把伯努利不等式推广到实数幂形式： 若r ≤0或r ≥ 1,有(1+x)^r ≥ 1 + rx 若0 ≤ r ≤ 1,有(1+x)^r ≤ 1 + rx 这个不等式可以直接通过微分进行证明,方法如下： 如果r=0,1,则结论是显然的 如果r≠0,1,作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx),那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r,则f'(x)=0 x=0; 下面分情况讨论： 1.0 < r < 1,则对于x > 0,f'(x) < 0；对于 − 1 < x < 0,f'(x) > 0.因此f(x)在x = 0处取最大值0,故得(1+x)^r ≤ 1+rx. 2.r < 0或r > 1,则对于x > 0,f'(x) > 0；对于 − 1 < x < 0,f'(x) < 0.因此f(x)在x = 0处取最小值0,故得(1+x)^r ≥ 1+rx 证毕