在△ABC中,AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上,∠ABE=∠DBM.∠ABC=60°.延长BM到P,使BM=MP,连CP,若AB=7,AE=2根号7,求tan∠ACP的值.点M在线段DF上,∠BAE=∠BDF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 05:34:01
在△ABC中,AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上,∠ABE=∠DBM.∠ABC=60°.延长BM到P,使BM=MP,连CP,若AB=7,AE=2根号7,求tan∠ACP的值.点M在线段DF上,∠BAE=∠BDF
在△ABC中,AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上,∠ABE=∠DBM.∠ABC=60°.延长BM到P,使BM=MP,连CP,若AB=7,AE=2根号7,求tan∠ACP的值.
点M在线段DF上,∠BAE=∠BDF
在△ABC中,AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上,∠ABE=∠DBM.∠ABC=60°.延长BM到P,使BM=MP,连CP,若AB=7,AE=2根号7,求tan∠ACP的值.点M在线段DF上,∠BAE=∠BDF
（1）证明：如图1,连接AD．
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°,
∴BD=AB•cos∠ABC即AB= √2BD．
∵∠BAE=∠BDM,∠ABE=∠DBM,
∴△ABE∽△DBM．
∴AE/DM=AB/DB=√2 ,
∴AE= √2MD．
（2）∵cos60°= 1/2,
∴BD=AB•cos∠ABC,
即AB=2BD．
∴AE=2MD；
（3）如图2,连接AD,EP．
∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形．
又∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC,∠DAC=30°,BD=DC= AB．
∵∠BAE=∠BDM,∠ABE=∠DBM,
∴△ABE∽△DBM．
∴BE/BM=AB/DB=2 ,
∠AEB=∠DMB．
∴EB=2BM．
又∵BM=MP,
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°,
∴△BEP为等边三角形,
∴EM⊥BP,
∴∠BMD=90°,
∴∠AEB=90°．
在Rt△AEB中,AE=2√7 ,AB=7,
∴BE=√(AB^2-AE^2)=√21 ．
∴tan∠EAB=√3/2 ．
∵D为BC中点,M为BP中点,
∴DM‖PC．
∴∠MDB=∠PCB,
∴∠EAB=∠PCB．
∴tan∠PCB= √3/2．
在Rt△ABD中,AD=AB•sin∠ABD=7√3/2 ,
在Rt△NDC中,ND=DC•tan∠NCD=7√3/4 ,
∴NA=AD-ND= 7√3/4．
过N作NH⊥AC,垂足为H．
在Rt△ANH中,NH= AN/2=7√3/8 ,AH=AN•cos∠NAH=21/8 ,
∴CH=AC-AH=35/8 ,
∴tan∠ACP=NH/CH=√3/5 ．