X,Y>0,X+9Y=1 则X分之1+Y分之3的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 03:28:36
X,Y>0,X+9Y=1则X分之1+Y分之3的最小值X,Y>0,X+9Y=1则X分之1+Y分之3的最小值X,Y>0,X+9Y=1则X分之1+Y分之3的最小值(1/x+3/y)(x+9y)=28+(9y

X,Y>0,X+9Y=1 则X分之1+Y分之3的最小值
X,Y>0,X+9Y=1 则X分之1+Y分之3的最小值

X,Y>0,X+9Y=1 则X分之1+Y分之3的最小值
(1/x+3/y)(x+9y)
=28+(9y/x+3x/y)
9y/x+3x/y≥2√(9y/x*3x/y)=6√3
所以最小值是28+6√3

由柯西不等式:1/X+3/Y=1×(1/X+3/Y)=(X+9Y)×(1/X+3/Y)=[(√x)^2+(3√y)^2]{[√(1/X)]^2+[√(3/y)]^2}≥{[(√x)^2][√(1/X)]^2]+[(3√y)^2√(3/y)]^2}^2=(1+3√3)^2
所以最小值为(1+3√3)^2