设A为n阶矩阵,满足A2=A,设A为n阶矩阵,满足A2=A,试证:r(A)+r(A+I)=n在下感激不尽!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 12:33:56
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设A为n阶矩阵,满足A2=A,设A为n阶矩阵,满足A2=A,试证:r(A)+r(A+I)=n
在下感激不尽!
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（结论应该是rank(A)+rank(A-I)=n,否则是错的.例：取A=I,则A^2=I=A,但rank(A)+rank(A+I)=rank(I)+rank(2I)=n+n=2n）
证法一：
令U={x∈R^n|Ax=0}为A的解集,则dim(U)=n-rank(A)；
令V={x∈R^n|Ax=x}={x∈R^n|(A-I)x=0}为(A-I)的解集,则dim(V)=n-rank(A-I).
两式相加得dim(U)+dim(V)=2n-[rank(A)+rank(A-I)].
声明：R^n=U⊕V.
证明：(1)U∩V=0：x∈U∩V则Ax=0且Ax=x,所以x=0；
(2)U+V=R^n：对任意x∈R^n,定义x1=x-Ax,x1=Ax,则x=x1+x2；且由A(Ax)=(A^2)x=Ax易知Ax1=Ax-Ax=0,Ax2=Ax=x2,所以x1∈U,x2∈V.
所以dim(U)+dim(V)=n.代入上式得rank(A)+rank(A-I)=n.
证法二：
由A^2=A,A有化零多项式f(x)=x^2-x=x(x-1).A的最小多项式p(x)必整除f(x),且f(x)无重根,所以p(x)无重根,所以A可对角化.A的特征值都是p(x)的根,所以都是f(x)的根,只能是0或1.所以A相似于对角元全为0或1的对角阵D.
A相似于D,所以rank(A)等于rank(D),等于D中1的个数；
A-I相似于D-I,所以rank(A-I)等于rank(A-I),等于D中0的个数.
所以rank(A)+rank(A-I)等于D的阶,即n.