已知i、j、k为两两垂直的单位向量,非零向量a=a1i+a2j+a3k已知i、j、k为两两垂直的单位向量,非零向量a=a1i+a2j+a3k（a1,a2,a3∈R）,若向量a与向量i、j、k的夹角分别为α、β,γ,则cos^2α+cos^2β+cos^2γ=_____
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 09:24:49
已知i、j、k为两两垂直的单位向量,非零向量a=a1i+a2j+a3k已知i、j、k为两两垂直的单位向量,非零向量a=a1i+a2j+a3k（a1,a2,a3∈R）,若向量a与向量i、j、k的夹角分别为α、β,γ,则cos^2α+cos^2β+cos^2γ=_____
已知i、j、k为两两垂直的单位向量,非零向量a=a1i+a2j+a3k
已知i、j、k为两两垂直的单位向量,非零向量a=a1i+a2j+a3k（a1,a2,a3∈R）,若向量a与向量i、j、k的夹角分别为α、β,γ,则cos^2α+cos^2β+cos^2γ=________
已知i、j、k为两两垂直的单位向量,非零向量a=a1i+a2j+a3k已知i、j、k为两两垂直的单位向量,非零向量a=a1i+a2j+a3k（a1,a2,a3∈R）,若向量a与向量i、j、k的夹角分别为α、β,γ,则cos^2α+cos^2β+cos^2γ=_____
分别以a1,a2,a3为棱,画长方体,
a为长方体对角线
α、β,γ,分别为,对角线与经过同一顶点的三条棱所成的角,
cosα,cosβ,cosγ为三条棱与a的比值
所以cosα=a1/a
cosβ=a2/a,
cosγ=a3/a
a1^2+a2^2+a3^2=a^2
所以 cos^2α+cos^2β+cos^2γ=__1______
等于1
这是空间向量的知识，遇到这种题最快捷的办法是特殊值法。i j k分别为空间向量的xyz轴上的单位向量，假设向量a与x轴重合，则αβγ依次为0,90，90度，所以答案为1
有题义得:cosα=1/|向量a|=1/(14)½，cosβ=2/14½，cosγ=3/14½，
所以原式=1 ~_~(当然，这个是个结论，分别用x，y，z表示出cosα，cosβ，cosγ再平方相加即可，这个式子恒等于1的)
祝你好运~_~
∵ i、j、k为两两垂直的单位向量
∴ |i|=|j|=|k|=1 i.i=j.j=k.k=1 i.j=j.i=j.k=k.j=i.k=k.i=0
∵a=a1i+a2j+a3k
∴ |a|^2=a.a=(a1i+a2j+a3k)(a1i+a2j+a3k)
=a1^2i.i+a2^2j.j+a3^2k.k+a1a2i.j+a2a3j.k+a1a3...
全部展开
∵ i、j、k为两两垂直的单位向量
∴ |i|=|j|=|k|=1 i.i=j.j=k.k=1 i.j=j.i=j.k=k.j=i.k=k.i=0
∵a=a1i+a2j+a3k
∴ |a|^2=a.a=(a1i+a2j+a3k)(a1i+a2j+a3k)
=a1^2i.i+a2^2j.j+a3^2k.k+a1a2i.j+a2a3j.k+a1a3i.k+a3a1k.i+a3a2k.j+a2a1j.i
=a1^2+a2^2+a3^2
cos α=a.i/|a||i|=(a1i+a2j+a3k).i=a1/√(a1^2+a2^2+a3^2)
同理：
cos β=a2/√(a1^2+a2^2+a3^2)
cos^2γ=a3/√(a1^2+a2^2+a3^2)
∴cos^2α+cos^2β+cos^2γ=__1
收起