G是三角形ABO的重心,M是AB的中点,若PQ过三角形的重心G,且向量OP=mOA,OQ=nOB,求证（1/m）+（1/n）=3.PQ交OA于P,交OB于Q
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 14:46:13
G是三角形ABO的重心,M是AB的中点,若PQ过三角形的重心G,且向量OP=mOA,OQ=nOB,求证（1/m）+（1/n）=3.PQ交OA于P,交OB于Q
G是三角形ABO的重心,M是AB的中点,若PQ过三角形的重心G,且向量OP=mOA,OQ=nOB,求证（1/m）+（1/n）=3.
PQ交OA于P,交OB于Q
G是三角形ABO的重心,M是AB的中点,若PQ过三角形的重心G,且向量OP=mOA,OQ=nOB,求证（1/m）+（1/n）=3.PQ交OA于P,交OB于Q
G是三角形ABO
=> GA+GB+GO =0
M是AB的中
=> AM =MB
G is on PQ
OP = mOA
OQ = nOB
let |PG| :|GQ|= k
OG = (OP + kOQ)/(1+k)
= (mOA + knOB)/(1+k)
GA+GB+GO =0
(OA-OG) + (OB-OG) +GO =0
OA+OB=3OG
= 3(mOA + knOB)/(1+k)
=> 3m/(1+k) = 1 (1) and
3kn/(1+k)=1 (2)
(2)/(1)
kn/m =1
k = m/n (3)
sub (3) into (1)
3m/(1+m/n) =1
3mn/(m+n) =1
3mn =m+n
1/m + 1/n = 3
1、求向量GA+向量GB=2*向量GM
又因为G是△ABO的重心
所以向量GO=-2*向量GM
所以求向量GA+向量GB+向量GO=0
2、方一：特殊值
设p在A点，则Q在中点
所以m=1，n=1/2
所以
1/m + 1/n =3
方二：
显然OM = 1/2(a+b).因为G是△ABO的重心， 所以Ƚ...
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1、求向量GA+向量GB=2*向量GM
又因为G是△ABO的重心
所以向量GO=-2*向量GM
所以求向量GA+向量GB+向量GO=0
2、方一：特殊值
设p在A点，则Q在中点
所以m=1，n=1/2
所以
1/m + 1/n =3
方二：
显然OM = 1/2(a+b).因为G是△ABO的重心， 所以 OG=2/3OM =1/3 (a+b).
∵P、G、Q三点共线有 ，PG,GP 共线， 所以，有且只有一个实数λ，使PG=λ GQ .
而PG =OG -OP = 1/3(a+b) - ma ，
GQ= OQ-OG =nb -1/3 (a+b)，
∴1/3(a+b) - ma=nb -1/3 (a+b)，
又因为a、b不共线，
所以 1/3-m=-1/3λ,1/3=λ(n-1/3)
消去λ，
整理得 3mn=m+n ，
故1/m +1/n =3.
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