请问下关于函数和解析几何中的对称问题.主要是请各位高手讲下注意要点,介绍下解题思想,举几个典型例题.

请问下关于函数和解析几何中的对称问题.主要是请各位高手讲下注意要点,介绍下解题思想,举几个典型例题.
请问下关于函数和解析几何中的对称问题.
主要是请各位高手讲下注意要点,介绍下解题思想,举几个典型例题.

请问下关于函数和解析几何中的对称问题.主要是请各位高手讲下注意要点,介绍下解题思想,举几个典型例题.
函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美.
一、函数自身的对称性探究
定理1.函数 y = f (x)的图象关于点A (a ,b)对称的充要条件是
f (x) + f (2a－x) = 2b
证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图象上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x,2b－y）也在y = f (x)图象上,∴ 2b－y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b,必要性得证.
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图象上任一点,则y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b,即2b－y0 = f (2a－x0) .
故点P‘（2a－x0,2b－y0）也在y = f (x) 图象上,而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称,充分性得征.
推论：函数 y = f (x)的图象关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0
定理2. 函数 y = f (x)的图象关于直线x = a对称的充要条件是
f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）
推论：函数 y = f (x)的图象关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)
定理3. ①若函数y = f (x) 图象同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b）,则y = f (x)是周期函数,且2| a－b|是其一个周期.
②若函数y = f (x) 图象同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b）,则y = f (x)是周期函数,且2| a－b|是其一个周期.
③若函数y = f (x)图象既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b）,则y = f (x)是周期函数,且4| a－b|是其一个周期.
①②的证明留给读者,以下给出③的证明：
∵函数y = f (x)图象既关于点A (a ,c) 成中心对称,
∴f (x) + f (2a－x) =2c,用2b－x代x得：
f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
又∵函数y = f (x)图象直线x =b成轴对称,
∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**）,用2（a－b）－x代x得
f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数,且4| a－b|是其一个周期.
二、不同函数对称性的探究
定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图象关于点A (a ,b)成中心对称.
定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图象关于直线x = a成轴对称.
②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图象关于直线x +y = a成轴对称.
③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图象关于直线x－y = a成轴对称.
定理4与定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③
设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图象上任一点,则y0 = f (x0).记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1, y1）,则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ,∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P‘（x1, y1）在函数x－a = f (y + a)的图象上.
同理可证：函数x－a = f (y + a)的图象上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图象上.故定理5中的③成立.
推论：函数y = f (x)的图象与x = f (y)的图象关于直线x = y 成轴对称.
三、三角函数图象的对称性列表

函 数 对称中心坐标 对称轴方程
y = sin x ( , 0 ) x =
y = cos x ( ,0 ) x =
y = tan x ( ,0 ) 无
表中k∈Z
四、函数对称性应用举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数,且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）
(A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数,但不是周期函数
(C)是奇函数,也是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数
∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ,因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数, ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴,因此f (x)还是一个偶函数.
故选(A)
例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数,并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图象关于直线y = x对称,若g(5) = 1999,那么f(4)=（ ）.
(A)1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002.
∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图象关于直线y = x对称,
∴y = g-1(x－2) 反函数是y = f(x－1),而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,应选（C）
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时,
f (x) = － x,则f (8.6 ) = _________ ∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴.故y = f(x)是以2为周期的周期函数,∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
例4.函数 y = sin (2x + )的图象的一条对称轴的方程是（ ）(92全国高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x =
函数 y = sin (2x + )的图象的所有对称轴的方程是2x + = k +
∴x = － ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = － 故选(A)
例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时,
f (x) = x,则f (7.5 ) = （ ）
(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5
∵y = f (x)是定义在R上的奇函数,∴点（0,0）是其对称中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x),即f (1+ x) = f (1－x), ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴,故y = f (x)是周期为2的周期函数.
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)
原理总结：f(x)与f(-x)关于y轴对称
f(x)与-f(x)关于x轴对称
f(x)与-f(-x)关于原点对称

f(x)与f(-x)关于y轴对称
f(x)与-f(x)关于x轴对称
f(x)与-f(-x)关于原点对称

函数的对称性及其应用：
http://www.mathschina.com/gaozhongdagang/showsoft.asp?softid=11639
我的经验：
f(x)与f(-x)关于y轴对称
f(x)与-f(x)关于x轴对称
f(x)与-f(-x)关于原点对称