已知sin(2α+β)=3sinβ,其中α和α+β均不等于kπ+π/2(k∈Z)求证:tan(α+β)=2tanα
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 17:42:50
已知sin(2α+β)=3sinβ,其中α和α+β均不等于kπ+π/2(k∈Z)求证:tan(α+β)=2tanα
已知sin(2α+β)=3sinβ,其中α和α+β均不等于kπ+π/2(k∈Z)求证:tan(α+β)=2tanα
已知sin(2α+β)=3sinβ,其中α和α+β均不等于kπ+π/2(k∈Z)求证:tan(α+β)=2tanα
令γ=α+β
则 3sin(γ-α)=sin(γ+α)
得 3sinγcosα-3cosγsinα=sinγcosα+cosγsinα
即 2sinγcosα=4cosγsinα
=>sinγ/cosγ=4sinα/2cosα
tanγ=2tanα
即 得证tan(α+β)=2tanα
sin(2α+β)=3sinβ
sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]
sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα
即 2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα
sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα
又α≠kπ+π/2,...
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sin(2α+β)=3sinβ
sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]
sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα
即 2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα
sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα
又α≠kπ+π/2, α+β≠kπ+π/2, K∈Z
所以 cosα≠0, cos(α+β)≠0
所以 tan(α+β)=2tanα
收起
sin(2α+β)=3sinβ,
sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]
sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα
4cos(α+β)sinα=2sin(α+β)cosα
sin(α+β)/cos(α+β)=2sinα/cosα
tan(α+β)=)=2tanα