如图,三角形ABC内接于圆O,角ABC的平分线交BC于D,交圆O于E,圆O的切线BF交AE延长线于F,过E作EH垂直BF,垂足为H.求证:(1)BE平分角CBF,(2)BC=2BH
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 20:40:38
如图,三角形ABC内接于圆O,角ABC的平分线交BC于D,交圆O于E,圆O的切线BF交AE延长线于F,过E作EH垂直BF,垂足为H.求证:(1)BE平分角CBF,(2)BC=2BH
如图,三角形ABC内接于圆O,角ABC的平分线交BC于D,交圆O于E,圆O的切线BF交AE延长线于F,过E作EH垂直BF,
垂足为H.求证:(1)BE平分角CBF,(2)BC=2BH
如图,三角形ABC内接于圆O,角ABC的平分线交BC于D,交圆O于E,圆O的切线BF交AE延长线于F,过E作EH垂直BF,垂足为H.求证:(1)BE平分角CBF,(2)BC=2BH
(1)
因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠CAE
又因为BF为圆O过圆上B点的切线,所以∠FBE=∠BAE
而∠CBE=∠CAE(同弧上的圆周角相等),
所以∠FBE=∠CBE,BE平分角CBF
(2)连接CE,因BF为圆O切线,所以∠FBE=∠BCE
由(1)已证明BE平分角CBF,∠FBE=∠CBE
所以∠BCE=∠CBE,故△BEC为等腰三角形
过E点做BC的垂线,垂足为M,则BM=MC=1/2BC
因为EH⊥BF,所以EH=EM,而BE为公共边,所以RT△BHE≌RT△BNE,BH=BM=1/2BC
所以BC=2BH
证明:
(1)连接BE.BF与圆相切,则∠FBE=∠BAE;
又∠CBE=∠CAE=∠BAE.
故∠CBE=∠FBE,即BE平分角CBF.
(2)∠BAE=∠CAE,则弧BE=弧CE,得BE=CE.
作EM垂直BC于M,则:BM=MC,BC=2BM.
又EH垂直BF,BE平分角CBF,则:EH=EM;
又BE=BE,故Rt⊿EBH≌Rt⊿EBM(HL),得:BH=BM.
所以,BC=2BH.