在边长为2的正方形ABCD中,P为AB中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t,线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC与点M、N,过Q做QE垂直于AB于点E,过M作MF垂直于BC与点F.顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 11:30:37
在边长为2的正方形ABCD中,P为AB中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t,线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC与点M、N,过Q做QE垂直于AB于点E,过M作MF垂直于BC与点F.顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求
在边长为2的正方形ABCD中,P为AB中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t,线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC与点M、N,过Q做QE垂直于AB于点E,过M作MF垂直于BC与点F.顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量t之间的函数关系式,并求S的最小值.
在边长为2的正方形ABCD中,P为AB中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t,线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC与点M、N,过Q做QE垂直于AB于点E,过M作MF垂直于BC与点F.顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB,
∵QE⊥AB,MF⊥BC,
∴∠AEQ=∠MFB=90°,
∴四边形ABFM、AEQD都是矩形,
∴MF=AB,QE=AD,MF⊥QE,
又∵PQ⊥MN,
∴∠EQP=∠FMN,
又∵∠QEP=∠MFN=90°,
∴△PEQ≌△NFM；
（2）∵点P是边AB的中点,AB=2,DQ=AE=t,
∴PA=1,PE=1-t,QE=2,
由勾股定理,得PQ=√ (QE²+PE²)= √[(1-t)²+4],
∵△PEQ≌△NFM,
∴MN=PQ= √[(1-t)²+4],
又∵PQ⊥MN,
∴S= ½PQ•MN= ½[(1-t)²+4]= ½t²-t+ 5/2,
∵0≤t≤2,
∴当t=1时,S最小值=2．
综上：S= ½t²-t+ 5/2,S的最小值为2．
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