请教x的n次方-1的展开公式...具体请见图谢谢如图,求括号里的式子..
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 03:30:37
请教x的n次方-1的展开公式...具体请见图谢谢如图,求括号里的式子..
请教x的n次方-1的展开公式...具体请见图谢谢
如图,求括号里的式子..
请教x的n次方-1的展开公式...具体请见图谢谢如图,求括号里的式子..
这是一条北大教授在调研各地中学生数学知识时出的问题,当时那位老教授问了一个班,可是整个班算了半天也没有做出来,答案可以猜出来,不过还是给你整个证明方法吧.
数学归纳法：
N=1 x-1=(x-1)(1)
N=2 x^2-1=(x-1)(x+1)
N=3 x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
...
现假设
N=n x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
求证
N=n+1 x^(n+1)-1=(x-1)[x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
下面证明
x^(n+1)-1=x(x^n-1)+x-1=x{(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]}+x-1
={(x-1)[x^n+x^(n-1)+...+x^2+x]}+(x-1)
=(x-1)[x^n+x^(n-1)+...+x^2+x+1]
所以得证,于是得
x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
现在知道了吗?
括号里填：[x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1]
x^n-1(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x+1]
联想等比数列的计算公式就知道了，
设比例因子为q
项数为n
首项为a1
和s=a1*(1-q^n)/(1-q)
q^n表示q的n次方
不过把q换成x, a1= 1
1-x^n= (1-x)*S (S为等比数列,所有项的和)
也就是x^n - 1= (x-1)* (1+x+x^2+.. +x^n-1)
这是一个个测试逆向思维的...
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联想等比数列的计算公式就知道了，
设比例因子为q
项数为n
首项为a1
和s=a1*(1-q^n)/(1-q)
q^n表示q的n次方
不过把q换成x, a1= 1
1-x^n= (1-x)*S (S为等比数列,所有项的和)
也就是x^n - 1= (x-1)* (1+x+x^2+.. +x^n-1)
这是一个个测试逆向思维的考题,
对于中学生，实际不需要高深的证明
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