为什么x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0加入参数λ方程代表恒过两点的所有圆?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 11:48:46
为什么x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0加入参数λ方程代表恒过两点的所有圆?
为什么x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0加入参数λ方程代表恒过两点的所有圆?
为什么x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0加入参数λ方程代表恒过两点的所有圆?
这个是圆系方程：
定义：在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程.
简要说明
在方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中,若圆心(a,b)为定点,r为参变数,则它表示同心圆的圆系方程．若r是常量,a（或b）为参变数,则它表示半径相同,圆心在同一直线上（平行于x轴或y轴）的圆系方程．
经过两圆x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0
的交点圆系方程为：
x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)
经过直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的交点圆系方程
x^2+y^2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0
类型1：方程 表示半径为定长 的圆系 类型2：方程 表示以定点为圆心的同心圆系.
拓展1：方程 表示圆心落在定直线上,半径为r（r为正数） 的圆系.
拓展2：方程 表示圆心落在任意直线上,半径为定长 的圆系.
拓展3：方程 表示圆心落在直线 上的圆系.
拓展4：方程 表示圆心落在圆 上,半径为 的圆系.
类型3：共轴圆系
若⊙C1与⊙C2交于A、B两点,则直线AB称为这两个圆的根轴.经过A、B两点的所有的圆形成一个圆系,这圆系内任何两个圆的根轴均为直线AB,因此我们称这种圆系为共轴圆系.
理1.例题：求x+(m+1)y+m=0所过定点
可将原式化为x+y+m(y+1)=0
即为x+y=0；y+1=0
解得恒过点（1,-1）
由此我们理解到当除了x,y（为一次幂）还有一未知数m时,依然可求得一定点.
由此可联想：当有二次方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0与x2+y2+D2x+E2y+F2=0我们便能求出两定点.
过一已知圆与一直线的两个交点的圆系方程为：
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（Ax+By+C)=0
理解2：有二次方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①式
x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②式
①式+②式得x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0
此方程仅符合交点坐标(即带入交点后成立）
加入参数λ让方程代表恒过两点的所有圆.
例题
例2：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程.
分析：本题若先联立方程求交点,再设所求圆方程,寻求各变量关系,求半径最值,虽然可行,但运算量较大.自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行.为了避免讨论,先求出两圆公共弦所在直线方程.则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题.
圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程为
x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0,即2x+2y-11=0
过直线2x+2y-11=0与圆x^2+y^2=25的交点的圆系方程为
x^2+y^2-25+λ(2x+2y-11)=0,即x^2+y^2+2λy+2λx-(11λ+25)=0
依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上.即-2λ-2λ+11=0,则λ=-11/4
代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)^2+(y-11/4)^2=79/8
圆系方程。