若x.y..a属于R,√x+√y≤a√x+y,恒成立,a最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 04:08:42
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若x.y..a属于R,√x+√y≤a√x+y,恒成立,a最小值
由柯西不等式,
√x+√y=1*√x+1*√y≤√(1^2+1^2)*√(x+y)=√2*√(x+y)
仅当x=y时等号成立.
证明如下,
不等式√x+√y≤a√(x+y)两边平方整理可得
(a^2-1)(x+y)≥2√(xy)
因为x、y属于R+,由均值不等式x+y≥2√(xy)
所以必有a^2-1≥1,故a≥√2
a的最小值为√2,当且仅当x=y时a=√2