已知向量a,b满足丨a丨=1,丨b丨=1.1.若丨ka+b丨=√3丨a-kb丨（k>0）,f(k)=a*b,求f(k)的单调区间 2若a,b相互垂直,是否存在整数k,使向量m=ka+b与n=a+kb的夹角为60°,若存在,求出k的值,若不存在,说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 13:27:07
已知向量a,b满足丨a丨=1,丨b丨=1.1.若丨ka+b丨=√3丨a-kb丨（k>0）,f(k)=a*b,求f(k)的单调区间 2若a,b相互垂直,是否存在整数k,使向量m=ka+b与n=a+kb的夹角为60°,若存在,求出k的值,若不存在,说明理由
已知向量a,b满足丨a丨=1,丨b丨=1.
1.若丨ka+b丨=√3丨a-kb丨（k>0）,f(k)=a*b,求f(k)的单调区间
2若a,b相互垂直,是否存在整数k,使向量m=ka+b与n=a+kb的夹角为60°,若存在,求出k的值,若不存在,说明理由
已知向量a,b满足丨a丨=1,丨b丨=1.1.若丨ka+b丨=√3丨a-kb丨（k>0）,f(k)=a*b,求f(k)的单调区间 2若a,b相互垂直,是否存在整数k,使向量m=ka+b与n=a+kb的夹角为60°,若存在,求出k的值,若不存在,说明理由
1,由于丨ka+b丨=√3丨a-kb丨得到
|ka+b|^2=3|a-kb|^2,即k^2a^2+2ka*b+b^2=3(a^2-2ka*b+k^2b^2)
而|a|=1,|b|=1
所以7ka*b=2+2k^2
所以f(k)=(2+2k^2)/(7k）=2/7*[k+1/k]
由于k>0,所以k+1./k在（0,1）上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
因此f(k)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).
2.由于a与b垂直,所以a*b=0
要使向量m=ka+b与n=a+kb的夹角为60°,
即cos60°=m*n/[|m||n|]=1/2
即m*n=1/2|m|*|n|
而m*n=(ka+b)*(a+kb)=ka^2+(1+k^2)a*b+kb^2=2k
|m|^2=|ka+b|^2=k^2a^2+2ka*b+b^2=1+k^2
|n|^2=|a+kb|^2=a^2+2ka*b+k^2b^2=1+k^2
所以2k=1/2(1+k^2)
解得k=2+√3,或k=2-√3.