一道概率分布题(中精 第10题)设一昆虫所产生的虫卵服从泊松分布P(λ),二每个虫卵发育成幼虫的概率为p,且每个虫卵是否发育成幼虫是相互独立的.求一只昆虫所生产的幼虫数Y的概率分
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/25 09:34:37
一道概率分布题(中精 第10题)设一昆虫所产生的虫卵服从泊松分布P(λ),二每个虫卵发育成幼虫的概率为p,且每个虫卵是否发育成幼虫是相互独立的.求一只昆虫所生产的幼虫数Y的概率分
一道概率分布题
(中精 第10题)
设一昆虫所产生的虫卵服从泊松分布P(λ),二每个虫卵发育成幼虫的概率为p,且每个虫卵是否发育成幼虫是相互独立的.求一只昆虫所生产的幼虫数Y的概率分布.
一道概率分布题(中精 第10题)设一昆虫所产生的虫卵服从泊松分布P(λ),二每个虫卵发育成幼虫的概率为p,且每个虫卵是否发育成幼虫是相互独立的.求一只昆虫所生产的幼虫数Y的概率分
可以用定义证明
泊松分布的由来:
设所观察的时间段为[0,1)
取一个很大的自然数n把时间段分为等长的n段
做几个假定:
1)在每段内,恰发生一个事件的概率,近似地与这段时间长度成正比.即可取为λ/n.又假定n很大而1/n很小时,在这么短暂的一段时间内,要发生两次或更多次是不可能的.因此在这段不发生事件的概率为(1-λ/n).
2)各段事件是否发生是独立的.
把[0,1)时段内发生的事件数Y视作在n个小时段内有事件的时段数,则按1),2)两条假定,Y应服从二项分布B(n,λ/n).
于是
P(Y=k)=C(n,k)(λ/n)^(k)*(1-λ/n)^(n-k) C(n,k)表示n里取k个的组合数
n趋于无穷大时,C(n,k)/(n^(k))趋近于1/k!;
(1-λ/n)^(n)趋近于e^(-λ)
所以,P(λ)=e^(-λ)*λ^(k)/k!
而每个虫卵发育成幼虫的概率为p,所以每个小段出现事件的概率变为λp;
所以此时
P(Y=k)=e^(-λp)*(λp)^(k)/k!
当你对泊松分布足够了解的时候,可以直接用
λ’=λp
P(Y=k)=P(λ‘)=(e^(-λp)*(λp)^(k)/k!
来证明