点C是直径AB=2的半圆弧上的一个动点,且AD向量//BC向量,AD=根号3AC,求四边形ABCD的面积的最大值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/28 11:43:04
点C是直径AB=2的半圆弧上的一个动点,且AD向量//BC向量,AD=根号3AC,求四边形ABCD的面积的最大值
点C是直径AB=2的半圆弧上的一个动点,且AD向量//BC向量,AD=根号3AC,求四边形ABCD的面积的最大值
点C是直径AB=2的半圆弧上的一个动点,且AD向量//BC向量,AD=根号3AC,求四边形ABCD的面积的最大值
由题意AD垂直于AC,BC垂直于AC,
设AC=x,则AD=根号3x,BC=根号下4-x^2
四边形面积=二分之根号3x^2+二分之1x乘以根号根号下4-x^2,x的值在0到2之间
可设x=2cosa.
则面积变为2倍根号3cosa^2+2cosa*sina
=根号3*(cos2a+1)+sin2a
=根号3*cos2a+sin2a+3
=2cos(a+60)+3
因此面积最大值为5
由题意知四边形ABCD中,∠ACB=90°,∠DAC=90°;
设∠CAB=α,并AB=2,有 AC=2cosα;
BC=2sinα; AD=√3AC=2√3cosα,
ABCD的面积S=S△ABC+S△DAC
=(1/2)*2cosα*2sinα+(1/2)*2cosα*2√3cosα
=2cosαsinα+2√3cos²α
=2co...
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由题意知四边形ABCD中,∠ACB=90°,∠DAC=90°;
设∠CAB=α,并AB=2,有 AC=2cosα;
BC=2sinα; AD=√3AC=2√3cosα,
ABCD的面积S=S△ABC+S△DAC
=(1/2)*2cosα*2sinα+(1/2)*2cosα*2√3cosα
=2cosαsinα+2√3cos²α
=2cosα(sinα+√3cosα),
式中sinα+√3cosα=2[(1/2)sinα+(√3/2)cosα]
=2sin(α+60°),
∴S=4cosαsin(α+60°)
=2[sin(2α+60°)+sin60°]
=2sin(2α+60°)+√3,
可见,当α=15°时,
Smax=2+√3。
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