三角形中线和三边关系
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 08:27:32
三角形中线和三边关系
三角形中线和三边关系
三角形中线和三边关系
三角形三边关系的应用
“三角形中任意两边之和大于第三边”及“三角形任意两边之差小于第三边”这两个结论在某些问题中是必备知识,同学们一定要力求熟练掌握,现举例说明．
1．判定三角形是否存在
当线段a、b、c同时满足：a+b＞c,b+c＞a,c+a＞b时,可以构成三角形．也可简化为：如果三条线段a≤b≤c,只要满足a+b＞c便可构成三角形．
例1 等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分成12cm和21cm两部分,求这个三角形底边的长．
解 如图1所示,设这个三角形腰长2xcm,底边长ycm,则
∵8+8＜17,故不能构成三角形,
∴这个三角形的底边长5cm．
注：在求三角形边长时,一定要注意构成三角形的条件．
例2 ABCD的边长 AB=5cm,那么它的两条对角线AC、BD的长可能是 [ ]
A． 4cm和6cm B．3cm和7cm．
C．4cm和8cm D．2cm和12cm．
(第九届“希望杯”初二培训)
解 如图2,ABCD中,对角线AC 、
对于选择A、B 都有OA+OB=AB,故不正确,对于 D有 AO+ AB= OB故也不正确,所以只能选C．
2．确定某条边的取值范围
三角形中一边的长小于其它两边之和而大于它们的差．
例3 一个三角形的周长为偶数,其中两条边的长分别是4和1997,则满足条件的三角形的个数是_______．
解∵4+1997+c是偶数,
∴ c为奇数．
又∵ 1993＜c＜2001,
∴ c只能取1995、1997、1999．故满足条件的三角形有3个．
3．化简
例4 若a、 b、 c为三角形的三条边长,则-(a+b+c)+｜a-b-c｜-｜b-c-a｜
+｜c-b-a｜= [ ]．
(A)2(a-b-c) (B)2(b-a-c)．
(C)2(c-a-b) (D)2(a+ b+ c)．
(第六届“希望杯”初二试题)
解 由三角形三边关系,有
a+b＞c,b+c＞a,c+a＞b,即a-b-c＜0,b-c-a＜0,c-b-a＜0,
∴ 原式=- a- b- c+ b+ c- a-(a+ c- b)+ a+b- c= 2(b- a- c)．
∴ 选(B)．
4．证明不等式
例5 设三角形两条高线的长分别是12和20,证明第三条高线的长小于30．
证明 设△ABC的边长为a,b,c,对应高为h1=12,h2=20,h3,三角形面积为S,则
∵a-b＜c．
5．其它
例6 用长度相等的100根火柴,摆放成一个三角形,使最大边的长度是最小边长度的3倍,求满足此条件的每个三角形各边所用火柴的根数．
(97太原市初中数竞)
解 设三角形各边需火柴杆的根数为x、y、3x．则
由①得y=100-4x,分别代入②、③、④．
解得
∵ x为正整数,
∴ x=15,16,
∴ 满足条件的三角形有两组,需用火柴的根数分别是15,40,45或16,36,48．
例7 △ABC的一边为5．另外两边的长是方程2x2-12x+m=0的两根,那么,m的取值范围是______． (97年四川初中数竞)
解 设△ABC中．三边为a、b、c．a≤b．c=5．