AB垂直于△BCD所在的平面,AB＝√10,AD＝√17,BC:BD＝3:4,当△BCD的面积最大时点A到直线CD的距离为多少?打错一个是AC＝√10
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 09:31:29
AB垂直于△BCD所在的平面,AB＝√10,AD＝√17,BC:BD＝3:4,当△BCD的面积最大时点A到直线CD的距离为多少?打错一个是AC＝√10
AB垂直于△BCD所在的平面,AB＝√10,AD＝√17,BC:BD＝3:4,当△BCD的面积最大时
点A到直线CD的距离为多少?
打错一个是AC＝√10
AB垂直于△BCD所在的平面,AB＝√10,AD＝√17,BC:BD＝3:4,当△BCD的面积最大时点A到直线CD的距离为多少?打错一个是AC＝√10
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥BC、AB⊥BD.
∵BC∶BD＝3∶4,∴可设BC＝3x、BD＝4x.
由勾股定理,有：AB^2＋BC^2＝AC^2、AB^2＋BD^2＝AD^2,两式相减,消去AB,得：
BC^2－BD^2＝AC^2－AD^2,∴9x^2－16x^2＝10－17,∴x^2＝1,∴x＝1,∴BC＝3、BD＝4.
∵△BCD的面积＝（1/2）BC×BDsin∠CBD＝（1/2）×3×4sin∠CBD.
∴当sin∠CBD有最大值时,△BCD的面积才有最大值.
显然,sin∠CBD在∠CBD＝90°时有最大值.
∴此时由勾股定理,有：CD＝√（BC^2＋BD^2）＝√（9＋16）＝5.
过A作AE⊥CD交CD于E.
∵AB⊥平面BCD,∴BE是AE在平面BCD上的射影,由三垂线定理的逆定理,有：BE⊥CD.
∴由三角形面积计算公式,有：△BCD的面积＝（1/2）BC×BD＝（1/2）CD×BE,
∴BE＝BC×BD/CD＝3×4/5＝12/5.
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥BE,∴由勾股定理,有：
AE＝√（AB^2＋BE^2）＝√（1＋144/25）＝13/5.
∴当△BCD的面积最大时,点A到CD的距离为：13/5.
这道题的关键是确定△BCD何时面积最大,不知道原题是否给出图像,需要正确画出图形以有助于思考,这也是立体几何解题要点之一. 由图像可知,△BCD是△ACD在平面BCD上的投影,由于AC,AD长给定,故BC,BD确定.在这种情况下,在角CBD为直角时△BCD的面积最大时取得最大值.做BE垂直CD,连结AE,AE长即是要求的线段. 不妨设BC=3a,BD=4a,则CD=5a,BE=2.4a,CE=1.8a,DE=3.2a.a=1, AE=2.6