求证,有人做出来加100分,决不食言.周长相等的平面图形中原的面积最大

求证,有人做出来加100分,决不食言.周长相等的平面图形中原的面积最大
求证,有人做出来加100分,决不食言.
周长相等的平面图形中原的面积最大

求证,有人做出来加100分,决不食言.周长相等的平面图形中原的面积最大

等长的曲线围成面积最大的图形是圆．

(Steiner解法）

1 周长一定的封闭曲线中,如果围成的面积最大,则必为凸图形．

若为该图形凹,可任作一条与曲线凹进部分有两个交点的直线,作该曲线在两交点间一段弧的对称曲线,则可得一个与之等周且面积更大的图形．

2 周长一定的面积最大的封闭曲线中,如果点A、B平分其周长,则弦AB平分其面积．

若AB不平分其面积,则该图形必有在AB某一侧面积较大,如图,不妨设N>M,则去掉M作N的关于AB的对称图形N’,则由N、N’组成的图形周长与原来的相等,但面积更大．

3对于既平分周长与又平分面积的弦AB,只考虑该图形在AB的任一侧的一半,若C为此段弧上任一点,则ACB=90．否则可把此图形划分为三块M、N、P,只须改变ACB的大小,使ACB=90,则M、N的面积不变,而P的面积变大．

这说明,此半段曲线必为半圆,从而另一半也是半圆．

经典解法,顶上：同时补上图.帮助理解下第三条：

这里的改变角ACB的大小,指的是c点不动,改变M,N所在的扇面.

调整的过程中改变的是AB的长短,其他没有变.到<ACB为90度为止.

这是,M,N不变,P的大小为：BC×AC/2,取得了最大的面积.

第一次看到这个做法,在看第三条时卡了1会,主要是改变方法不对,觉得不适用于椭圆.后明白,特此补充.

S圆=(周长/2pai)平方*pai=周长平方/4pai
S正=(周长/4)平方=周长平方/16
S三=无法确定
因为4派小于16 故S圆大于S正
而S正一般来说都大于S三

试解一下，设这个周长为2
矩形（不包括正方形）：长+宽=1，设长为X，那么宽为1-X，面积为X-X2
正方形：边长为0.5所以面积为0.25
此时将矩形的面积式子代入一组符合条件的数，例如0.6与0.4（0.24）0.7与0.3（0.21），最后发现不管是什么数都要比正方形所得的0.25要小，所以周长相同时正方形面积比长方形大
再看圆与正方形
圆周长公式为C...

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试解一下，设这个周长为2
矩形（不包括正方形）：长+宽=1，设长为X，那么宽为1-X，面积为X-X2
正方形：边长为0.5所以面积为0.25
此时将矩形的面积式子代入一组符合条件的数，例如0.6与0.4（0.24）0.7与0.3（0.21），最后发现不管是什么数都要比正方形所得的0.25要小，所以周长相同时正方形面积比长方形大
再看圆与正方形
圆周长公式为C=πd，即2πr，所以2πr=2，πr=1，r=1/π，圆面积公式为S=πr2，那么将r=1/π代入，S=π*（1/π2）最后得S=1/π，又因为正方形面积为0.25即1/4，那么4>π，在分数中分母越大数值越小，所以圆面积要比正方形大
其他的三角形，平行四边形什么的，大不过长方形，所以就省略了

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证明过程非常复杂(要证明N多边形,又要证明封闭曲线中圆面积最大),反正等周长时圆的面积最大,记住就好

这个题实际上相当不好做
需要进行导数是否存在的讨论
《数学分析习题课讲义》这本书里有导数存在时的证法，相当复杂

好难！只是说平面图形。那形状就复杂了呀！

等长的曲线围成面积最大的图形是圆．
(Steiner解法）
1° 周长一定的封闭曲线中，如果围成的面积最大，则必为凸图形．
若为该图形凹，可任作一条与曲线凹进部分有两个交点的直线，作该曲线在两交点间一段弧的对称曲线，则可得一个与之等周且面积更大的图形．
2° 周长一定的面积最大的封闭曲线中，如果点A、B平分其周长，则弦AB平分其面积．
若AB不平分...

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等长的曲线围成面积最大的图形是圆．
(Steiner解法）
1° 周长一定的封闭曲线中，如果围成的面积最大，则必为凸图形．
若为该图形凹，可任作一条与曲线凹进部分有两个交点的直线，作该曲线在两交点间一段弧的对称曲线，则可得一个与之等周且面积更大的图形．
2° 周长一定的面积最大的封闭曲线中，如果点A、B平分其周长，则弦AB平分其面积．
若AB不平分其面积，则该图形必有在AB某一侧面积较大，如图，不妨设N>M，则去掉M作N的关于AB的对称图形N’，则由N、N’组成的图形周长与原来的相等，但面积更大．
3°对于既平分周长与又平分面积的弦AB，只考虑该图形在AB的任一侧的一半，若C为此段弧上任一点，则∠ACB=90°．否则可把此图形划分为三块M、N、P，只须改变∠ACB的大小，使∠ACB=90°，则M、N的面积不变，而P的面积变大．
这说明，此半段曲线必为半圆，从而另一半也是半圆．

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很好证明:
采用逐步证明法:
假设周长为C的某图形T,T面积最大.
1.T至少具有1条对称轴.
假设T没有对称轴,假设一条直线将T分成面积相等的T1,T2两部分.将T1和T1的镜面对称拼在一起构成的图形具有对称轴且和T面积相等.这与T无对称轴矛盾.
2.T至少具有2条对称轴.
假设T只有一条对称轴,假设一条非对称轴的直线将T分成面积相等的...

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很好证明:
采用逐步证明法:
假设周长为C的某图形T,T面积最大.
1.T至少具有1条对称轴.
假设T没有对称轴,假设一条直线将T分成面积相等的T1,T2两部分.将T1和T1的镜面对称拼在一起构成的图形具有对称轴且和T面积相等.这与T无对称轴矛盾.
2.T至少具有2条对称轴.
假设T只有一条对称轴,假设一条非对称轴的直线将T分成面积相等的T1,T2两部分.将T1和T1的镜面对称拼在一起构成的图形具有两条对称轴且和T面积相等.这与T只有一条对称轴矛盾.
...
3.T具有无穷多条对称轴
依然反证法
因此T是圆形.

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设周长a，正n边行面积a^2/[4n*tan（180/n)],圆面积a^2/4pai,要证明圆面积最大，就证明pai0,函数单调递增,且n大于等于3，为正整数，所以当n=3时，n*tan（180/n)最小，为3又根号三。因为3又根号三大于pai，所以4n*tan...

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设周长a，正n边行面积a^2/[4n*tan（180/n)],圆面积a^2/4pai,要证明圆面积最大，就证明pai0,函数单调递增,且n大于等于3，为正整数，所以当n=3时，n*tan（180/n)最小，为3又根号三。因为3又根号三大于pai，所以4n*tan（180/n)]>4pai,即a^2/4pai>a^2/[4n*tan（180/n)],所以圆的面积永远大于正多边形的面积。（像相等周长下正方形面积大于长方形一样，正多边形面积比同周长的多边形面积大）

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今天中午参观了新建的博中高速公路 极尽奢侈的水泥路 两旁被挖出红色泥土的山体骨架耸然

圆形